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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Mo 18.04.2005 | | Autor: | tata |
hallo ihr,
ich suche Hilfe für die folgende aufgabe:
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Man verneine die Aussage:
[mm] \forall \varepsilon> [/mm] 0 [mm] \exists \delta>0 [/mm] : [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR [/mm] |x-y|< [mm] \delta
[/mm]
[mm] \Rightarrow |x^2-y^2| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Hierbei bezeichnet [mm] \IR [/mm] die Menge der reellen Zahlen.Welche Aussage ist richtig, die verneinte oder die ursprüngliche?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo tata!
> [mm]\forall \varepsilon>[/mm] 0 [mm]\exists \delta>0[/mm] : [mm]\forall[/mm]
> x,y [mm]\in \IR[/mm] |x-y|< [mm]\delta[/mm]
> [mm]\Rightarrow |x^2-y^2|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
Die Verneinung lautet so:
[mm] $\exists \varepsilon>0\, \forall\, \delta>0\, \exists [/mm] x,y [mm] \in \IR [/mm] : [mm] [(|x-y|<\delta) \wedge (|x^2 -y^2| \ge \varepsilon)]$.
[/mm]
Richtig ist die Verneinung.
Ja, es gilt sogar die nöch schärfere Aussage:
[mm] $\forall \varepsilon>0\, \forall\, \delta>0\, \existsx,y \in \IR [/mm] : [mm] [(|x-y|<\delta) \wedge (|x^2 -y^2| \ge \varepsilon)]$.
[/mm]
Denn sind [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und [mm] $\delta>0$ [/mm] vorgegeben, so setze ich:
[mm] $x:=\frac{\varepsilon}{\delta}$.
[/mm]
[mm] $y:=\frac{\varepsilon}{\delta} [/mm] + [mm] \frac{\delta}{2}$.
[/mm]
Warum gilt jetzt die Behauptung (also die Verneinung)?
Hast du eine Idee?
Tipp: 3. Binomische Formel...
Viele Grüße
Julius
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