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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Di 26.02.2008 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | | Sind die folgenden Aufgaben wahr oder falsch. Begründe oder gibt ein Gegenbeispiel an. |
Hallo Leute,
befasse mich seit kurzen mit der merdimensionalen Analysis.
Ich habe da mal einige Fragen zu meinen Ansätzen.
a) Wenn [mm] $A\subset \IR²$ [/mm] offen und unbeschränkt ist, so ist [mm] $A^{c}:=\IR²\setminus [/mm] A$ kompakt.
Im Prinzip würde ich ich sagen das die Aussage wahr ist, denn wenn A schon offen und unbeschränkt ist folgt daraus das eine Menge ohne A abgeschlossen und beschränkt ist.
Probleme hab ich nur damit das dass Komplement [mm] $A^{c}:=\IR^{2}\setminus [/mm] A$. Der [mm] \IR^{2} [/mm] kann doch nicht nicht beschränkt und abgeschlossen sein, egal wie groß auch A sein kann. Da A auch nur Teilmenge von R² ist und nicht gleich dem R². Und falls A = R² wäre dann wäre ja auch R² ohne den R² die leere Menge und die hätte keinen Rand.
Ich weiß nicht recht wie ich das begründen kann.
Falls [mm] A^{c} [/mm] abgeschlossen wär müßte gelten, dass der Rand von [mm] A^{c} [/mm] Teilmenge von [mm] A^{c} [/mm] selbst ist.
Also:
[mm] $\partial A\subset [/mm] A.
Aber [mm] A^{C} [/mm] hat gar keinen Rand würde ich sagen, da das ja nur R [mm] \setminus [/mm] A ist.
Ich bin etwas verwirrt.
Schon mal vielen Dank
Gruß hooover
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Di 26.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo hooover!
> Sind die folgenden Aufgaben wahr oder falsch. Begründe oder
> gibt ein Gegenbeispiel an.
> Hallo Leute,
>
> befasse mich seit kurzen mit der merdimensionalen Analysis.
>
> Ich habe da mal einige Fragen zu meinen Ansätzen.
>
>
> a) Wenn [mm]A\subset \IR²[/mm] offen und unbeschränkt ist, so ist
> [mm]A^{c}:=\IR²\setminus A[/mm] kompakt.
>
> Im Prinzip würde ich ich sagen das die Aussage wahr ist,
> denn wenn A schon offen und unbeschränkt ist folgt daraus
> das eine Menge ohne A abgeschlossen und beschränkt ist.
Der erste Teil ist richtig: wenn A offen ist, so ist [mm] $A^c$ [/mm] abgeschlossen. Die zweite Hälfte stimmt nicht: [mm] $A^c$ [/mm] braucht nicht beschränkt zu sein.
Am besten, du überlegst dir ein paar Beispiele für A und bestimmst [mm] $A^c$.
[/mm]
> Probleme hab ich nur damit das dass Komplement
> [mm]A^{c}:=\IR^{2}\setminus A[/mm]. Der [mm]\IR^{2}[/mm] kann doch nicht
> nicht beschränkt und abgeschlossen sein, egal wie groß auch
> A sein kann. Da A auch nur Teilmenge von R² ist und nicht
> gleich dem R². Und falls A = R² wäre dann wäre ja auch R²
> ohne den R² die leere Menge und die hätte keinen Rand.
Ich verstehe dich hier nicht (da fehlen ein paar Worte). Aber vielleicht hilft das:
Die leere Menge ist sowohl offen als auch abgeschlossen, ebenso der gesamte [mm] $\IR^2$. [/mm] Beschränkt ist der [mm] $\IR^2$ [/mm] natürlich nicht.
> Falls [mm]A^{c}[/mm] abgeschlossen wär müßte gelten, dass der Rand
> von [mm]A^{c}[/mm] Teilmenge von [mm]A^{c}[/mm] selbst ist.
>
> Also:
>
> [mm]$\partial A\subset[/mm] A.
Du meinst: [mm] $\partial A^c \subset A^c$.
[/mm]
> Aber [mm]A^{C}[/mm] hat gar keinen Rand würde ich sagen, da das ja
> nur R [mm]\setminus[/mm] A ist.
Warum? ein Punkt [mm] $p\in\partial A^c$ [/mm] ist doch definiert als ein Punkt, für den in jeder Umgebung sowohl Punkte aus [mm]A^{c}[/mm] wie auch Punkte außerhalb von [mm] $A^c$, [/mm] also Punkte aus A liegen. Daher ist [mm] $p\in\partial [/mm] A$. Da A offen ist, ist [mm] $p\not\in [/mm] A$, also ist [mm] $p\in A^c$, [/mm] also ist [mm] $\partial A^c \subset A^c$.
[/mm]
Beispiel: sei A das Innere des Einheitskreises ohne Rand: [mm] $A=\{(x,y)\mid x^2+y^2<1\}$. [/mm] Das kannst du dir einfach aufmalen. Offensichtlich ist [mm] $A^c=\{(x,y)\mid x^2+y^2\ge1\}$ [/mm] und [mm] $\partial [/mm] A = [mm] \partial A^c [/mm] = [mm] \{(x,y)\mid x^2+y^2=1\}$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Di 26.02.2008 | | Autor: | hooover |
Vielen Dank für die Antwort.
Also falls [mm] A^{c}=\{(x,y)\varepsilon\IR^{2}| x=y \}
[/mm]
dann wäre [mm] $A^{c}$ [/mm] abgeschlossen aber nicht beschränkt, da keine Kugel existiert die ganz [mm] A^{c} [/mm] enthält.
=> [mm] A^{c} [/mm] ist nicht kompakt.
Reicht das als Begründung?
Vielen Dank
Gruß hooover
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Di 26.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo hooover!
> Vielen Dank für die Antwort.
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> Also falls [mm]A^{c}=\{(x,y)\varepsilon\IR^{2}| x=y \}[/mm]
>
> dann wäre [mm]A^{c}[/mm] abgeschlossen aber nicht beschränkt, da
> keine Kugel existiert die ganz [mm]A^{c}[/mm] enthält.
>
> => [mm]A^{c}[/mm] ist nicht kompakt.
>
> Reicht das als Begründung?
Ja, ein Gegenbeispiel reicht 
Ein anderes ist: [mm] $A=\{(x,y)\mid 0
Viele Grüße
Rainer
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