anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Fr 02.11.2007 | | Autor: | Ilias |
| Aufgabe | Das Anfangswertproblem (P) habe die Gestalt
[mm] y'=\wurzel{y}; [/mm] y(0)=0
a)zeigen sie, das (P) eine Lösug besitzt...
b)Untersuchen sie (P) auf eindeutige Lösbarkeit |
a)
Ich weis bei der Aufgabe leider nicht so richtig weiter...habe intuitiv einfach mal y´integriert und bekam für y= 2/3 [mm] y^{3/2}+C [/mm] herraus. für y(0)=0 bekomme ich für C=0 herraus. Allerdings bin ich mir nicht sicher ob der Weg zum richtigen Ergebnis führt...wenn doch, woher weis ich ob P eine Lösung besitzt?
b)???leider keinen ansatz...
vielen dank, gruß ilias
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Hallo Ilias,
zu a.) eine Lösung kannst du z.B. über getrennte Veränderliche bekommen. (Eine DGL hat getrennte Veränderliche, wenn f(x,y)=g(x)h(y); f(x,y) ist bei dir [mm] \wurzel{y}, [/mm] also h(y) = [mm] \wurzel{y} [/mm] und g(x) = 1)). Der genaue Weg ist für y [mm] \not= [/mm] 0:
y' = [mm] \wurzel{y} \gdw
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{y}} dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{1 dx} [/mm] + C
Dies folgt unmittelbar aus ein paar Umformungen:
y' = [mm] \wurzel{y} \gdw
[/mm]
y [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \wurzel{y} \gdw
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{y}} dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{1 dx} [/mm] + C.
Um C zu bestimmen, kannst du in die berechnete Funktion y(x) einfach deine Anfangsbedingung einsetzen (ähnlich wie du es bereits gemacht hast).
OK? Damit kriegts du die Lösung, wenn y [mm] \not= [/mm] 0 ist, falls y = 0 was ist denn dann die Lösung?
zu b.) sagt dir der Satz von Picard-Löndelof etwas? Der macht Aussagen über die Eindeutigkeit der Lösung von DGL's.
Ich hoffe das hilft erstmal,
Grüße, Steffen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:01 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Ilias |
a) gäbe es auch andere möglichkeite diese aufgabe zu lösen? nur so aus interesse...obwohl mir dein vorgeschlagener lösungsweg lieber ist, da öfter praktiziert
nun zur aufgabe:
[mm] y'=\wurzel{y}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}=\wurzel{y}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{\wurzel{y}}=dx
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dy}{\wurzel{y}}}=\integral_{}^{}{1 dx}
[/mm]
[mm] 2\wurzel{y}=x+C
[/mm]
[mm] y(x)=\bruch{x²+C²}{4}
[/mm]
Nun ja, für die Anfangsbedingung y(0)=0 bekomm ich für C=0 herraus...somit besitzt die die gleichung nur eine Lösung, nähmlich 0...aber ich habe das gefühl das sich da ein denkfehler eingeschlichen hat...
b) ich habe mal ein bisschen gegoogelt und in meinem repetetorieum nachgeguckt...es stand zwar drin, wie man die DGL auf eine eindeutige Lösbarkeit untersucht allerdings so kompliziert das ich da garnichts verstanden habe...wäre nett wenn ich ein paar ansätze oder ein einfaches beispiel bekommen könnte...
vielen dank, peace
ilias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:10 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ilias!
Bis [mm] $2*\wurzel{y} [/mm] \ = \ x+C$ ist alles in Ordnung. Beim Umformen / Quadrieren musst Du jedoch die gesamte Seite quadrieren (also Klammern setzen):
$$4*y \ = \ [mm] (x+C)^2$$
[/mm]
$$y \ = \ [mm] \bruch{1}{4}*(x+C)^2$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:19 Sa 03.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deinen einen Fehler hat dir schon Loddar gesagt.
Eine Lösung mit y(0)=0 ist [mm] x=x^2/4
[/mm]
eine andere (die du verloren hast, weil du durch [mm] \wurzel{y} [/mm] dividiert hast ist y=0 also schon mal 2 Losungen dazu. Dann ist aber auch die Losung y=0 für x<a und [mm] y=(x-a)^2/4 [/mm] für [mm] x\ge [/mm] a Lösung, mit beliebigen a>0. also gibts unendlich viele Lösungen zu der Afangsbedingung!
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:33 Sa 03.11.2007 | | Autor: | vivo |
> Hallo
> Deinen einen Fehler hat dir schon Loddar gesagt.
> Eine Lösung mit y(0)=0 ist [mm]x=x^2/4[/mm]
> eine andere (die du verloren hast, weil du durch
> [mm]\wurzel{y}[/mm] dividiert hast ist y=0 also schon mal 2 Losungen
> dazu. Dann ist aber auch die Losung y=0 für x<a und
> [mm]y=(x-a)^2/4[/mm] für [mm]x\ge[/mm] a Lösung, mit beliebigen a>0. also
> gibts unendlich viele Lösungen zu der Afangsbedingung!
Hallo leduart,
kannst du bitte mal erklären, warum [mm]y=(x-a)^2/4[/mm] für [mm]x\ge[/mm] a Lösung, mit beliebigen a>0. eine lösung zu dem anfagnswert-problem ist dass ergibt doch nicht 0 für y(0), oder ???
danke
vivo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:38 Mo 05.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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