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| Aufgabe | Eine arithmetische Folge n-ter Ordnung beginnt mit: 1,-1,0,2,3,1,-6,-20,...
Welches Polynom von ebendieser Ordnung erzeugt die Folge? |
Mir is ja klar, dass das ne Folge 3. Ordnung ist.. aber was da gefragt wird ist mir nicht wirklich bewusst.. kann mir bitte jemand helfen?? Danke ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Di 11.07.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Was genau ist unklar? Hast du den Begriff der arithmetischen Folge n-ter Ordnung verstanden?
Also: eine Folge [mm] $(a_n)_{n\in \IN}$ [/mm] heißt arithmetisch der Ordnung $k$, wenn ein Polynom [mm] $p\in\IR[x]$ [/mm] vom Grad $k$ existiert, sodass [mm] $a_n=p(n)$ [/mm] für alle [mm] $n\in \IN$ [/mm] gilt.
Dies ist genau dann der Fall, wenn $a_^{(k+1)}$ die Nullfolge und $a_^{(i)}$ für [mm] $i\leq [/mm] k$ keine Nullfolge ist. Dabei seien [mm] $a^{(i)}_n:=a^{(i-1)}_{n+1}-a^{(i-1)}_n, a^0_n:=a_n$ [/mm] die von [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] erzeugten Differenzenfolgen.
Über letztgennantes Kriterium wirst du wohl eingesehen haben, dass die dir gegebene Folge arithmetisch der Ordnung 3 ist.
Um nun die Koeffizienten des erzeugenden Polynomes zu bestimmen, setzen wir [mm] $p(n)=c_0+c_1 n+c_2 n^2+c_3 n^3$. [/mm] Daraus folgt
[mm] $c_0 [/mm] + [mm] c_1 [/mm] + [mm] c_2 [/mm] + [mm] c_3 [/mm] = p(1) = [mm] a_1$
[/mm]
[mm] $c_0 [/mm] + [mm] 2c_1+4c_2+8c_3=p(2)=a_2$
[/mm]
[mm] $c_0 [/mm] + [mm] 3c_1 [/mm] + [mm] 9c_2+27c_3 [/mm] = [mm] p(3)=a_3$
[/mm]
[mm] $c_0+4c_1+16c_2+64c_3 [/mm] = [mm] p(4)=a_4$,
[/mm]
d.h. [mm] $(c_0,...,c_3)$ [/mm] ist die (eindeutig bestimmte) Lösung von
[mm] $\pmat{1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4 & 8\\ 1 & 3 & 9 & 27\\ 1 & 4 & 16 & 64}\vektor{a\\b\\c\\d}=\vektor{a_1\\ a_2\\a_3\\a_4}$.
[/mm]
Genau dieses Gleichungssystem musst du für die dir gegebene Folge lösen.
Zwar ist es nur eine notwendige Bedingung, aus dem obigen (Existenz-)Satz folgt aber, dass das durch die so gefundenen Koeffizienten [mm] $c_0,...,c_3$ [/mm] gebildete Polynom die dir gegebene Folge erzeugt.
Liebe Grüße,
Hanno
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