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| Aufgabe | Geben Sie eine aussagenlogische Formalisierung der folgenden Aussagen an:
(1) Eine notwendige Bedingung dafür, dass x eine Primzahl ist, ist: x ist ungerade oder x=2.
(2) Eine hinreichende Bedingung für die Stetigkeit der Funktion f ist die Differenzierbarkeit von f.
(3) Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Wahl von Jones ist, dass er 75 Stimmen erhält.
(4) Das Gras wächst nur dann, wenn genug Regen fällt.
(5) Es regnet, aber die Sonne scheint noch immer.
(6) Wenn die Steuern steigen und die Regierungsausgaben sinken, gibt es keine Inflation. |
Hallo!
Kann mir evtl. jemand erklären, was ich in dieser Aufgabe genau machen soll bzw. wie ich es mache?
Wäre echt super!
Danke im Voraus!
LG, Raingirl87
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Hallo Raingirl,
du hast hoffentlich schon ein bisschen Ahnung von aussagenlogischen Formeln.
Dir ist hier jeweils ein deutscher Satz gegeben, dessen Bedeutung du durch eine Formel ausdrücken sollst. Das kannst du meistens recht schematisch machen, wenn du eine Handvoll Regeln beachtest, die ich gerade nicht zur Hand habe.
Das klassische Beispiel eines Satzes wie in deinen Aufgaben lautet:
"Wenn es regnet, dann ist die Straße nass."
Dieser Satz enthält zwei "primitive Prädikate", nämlich "es regnet" und "die Straße ist nass". Die lassen wir unverändert. Wir formalisieren lediglich den logischen Zusammenhang zwischen den beiden:
"es regnet ==> die Straße ist nass"
Aufpassen musst du bei Wendungen wie "nur dann, wenn". Überlege dir, wie du den folgenden Satz formalisieren würdest:
"Ich esse nur dann, wenn ich hungrig bin."
Dieser Satz drückt aus, dass ich nichts esse, solange ich keinen Hunger habe:
"ich habe keinen Hunger ==> ich esse nicht"
Er drückt aber auch aus (und das ist logisch dasselbe), dass ich Hunger habe, wenn ich etwas esse:
"Ich esse ==> ich habe Hunger"
Hier wird keine Ursache-Wirkung-Beziehung oder eine zeitliche Reihenfolge beschrieben! Dieser Satz ist lediglich Ausdruck eine Beobachtung: Wenn jemand sieht, dass ich etwas esse, dann kann der den Schluss ziehen, dass ich wohl Hunger haben muss. (Dass sich mein Hunger durchs Essen verändert, wird hier überhaupt nicht beachtet.)
Für deine Aufgaben musst du jetzt nur noch wissen, wie du notwendige bzw. hinreichende Bedingungen formalisierst.
Dieselbe Aussage wie obiger Satz machen diese:
"Eine notwendige Bedingung fürs Essen ist, dass man Hunger hat."
Hunger ist notwendig für Essen, also: "kein Hunger ==> kein Essen"
"Eine hinreichende Bedingung für Hunger ist, dass man isst."
Essen ist hinreichend für Hunger, also: "Essen ==> Hunger"
(Beachte wieder, dass diese beiden Formalisierungen logisch äquivalent sind.)
Nun versuche dich erst einmal selbst an den Formalisierungen. :)
Gruß,
SirJective
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Hi!
Danke für die Erläuterung!
Mein Lösungsvorschlag:
(1) (x ungerade [mm] \cap [/mm] x=2)-->x ist eine Primzahl
(2) f ist stetig --> f ist Differenzierbar
(3) Jones erhält 75 Stimmen --> Jones ist gewählt
(4) es fällt genug Regen --> das Gras wächst
(5) es regnet --> Sonne scheint immernoch
(6) (Steuern steigen [mm] \cup [/mm] Regierungsausgaben sinken) --> keine Inflation
Stimmt das so?
LG, Raingirl87
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Hallo Raingirl:
Letztendlich kannst du die Aussagen auf dir bekanntes Wissen zurückführen.
Nehmen wir dein
(1) (x ungerade [mm]\wedge[/mm] x=2) [mm] \Rightarrow [/mm] x ist eine Primzahl
Erstmal hast du geschrieben x ist ungerade UND x=2, das ist schonmal auf jeden Fall falsch und damit die Folgerung richtig, weil du aus was falschem alles folgern kann, es müsste somit heissen:
(x ungerade [mm]\vee[/mm] x=2) [mm] \Rightarrow [/mm] x ist eine Primzahl
Gucken wir uns den Satz nun mal genaue an. Du sagst also, daß jede Zahl, die ungerade oder 2 ist, eine Primazahl ist.
Was ist mit 9,15,21,25 usw ?
Nur was weisst du, wenn ich dir sage x ist Primzahl? Insofern könntest du die Aussagen mit ein wenig nachdenken auch so herleiten. Das hilft gerade bei solchen Sachen sehr.
zu 2.)
Ist wirklich jede stetige Funktion differenzierbar? Was ist die "stärkere" Bedingung?
zu (3)
zu notwendige und hinreichende Kriterien nochmal:
Etwas gilt [mm] \Rightarrow [/mm] notwendiges Kriterium ist erfüllt
hinreichendes Kriterium ist erfüllt [mm] \gdw [/mm] es gilt
zu (4)
Ich schreib dir den Satz mal anders:
Das Gras wächst genau dann, wenn genug regen fällt. "Genau dann wenn" kannst du abkürzen mit gdw. Gib bei deiner antwort also einfach \ gdw (ohne leerzeichen) ein 
zu 5:
Komischer Satz, meines Erachtens eine einfach [mm] \wedge [/mm] - Verknüpfung.
zu 6:
Eigentlich richtig, nur das du falsche Symbole benutzt:
[mm] \cap [/mm] und [mm] \cup [/mm] sind Verknüpfungen auf Mengen. Die haben erstmal nix mit Aussagenlogik zu tun. Was du meinst sind
[mm] \vee [/mm] und [mm] \wedge [/mm] wobei:
[mm] \vee [/mm] = oder
[mm] \wedge [/mm] = und
Gruß,
Gono.
> Hi!
>
> Danke für die Erläuterung!
> Mein Lösungsvorschlag:
>
> (1) (x ungerade [mm]\cap[/mm] x=2)-->x ist eine Primzahl
> (2) f ist stetig --> f ist Differenzierbar
> (3) Jones erhält 75 Stimmen --> Jones ist gewählt
> (4) es fällt genug Regen --> das Gras wächst
> (5) es regnet --> Sonne scheint immernoch
> (6) (Steuern steigen [mm]\cup[/mm] Regierungsausgaben sinken) -->
> keine Inflation
>
> Stimmt das so?
>
> LG, Raingirl87
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ist es so richtig?:
(1) x ist eine Primzahl --> (x gerade [mm] \vee [/mm] x=2)
(2) f ist differenzierbar --> f ist stetig
(3) hab ich immer noch nicht verstanden :( was war falsch an meiner lösung?
(4) Gras wächst gdw. genug regen fällt
(5) es regnet [mm] \wedge [/mm] die Sonne scheint
(6) war ja bis auf das Zeichen richtig
LG und DANKE, Raingirl87
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Hiho,
> (1) x ist eine Primzahl --> (x gerade [mm]\vee[/mm] x=2)
Ich denke mal, du meinst "ungerade"  Ansonsten ist es richtig.
> (2) f ist differenzierbar --> f ist stetig
Jap
> (3) hab ich immer noch nicht verstanden :( was war falsch
Die Aussage heisst ja:
Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Wahl von Jones ist, dass er 75 Stimmen erhält.
Weil es eine notwendige Bedingung ist, gilt:
Jones wird gewählt [mm] \Rightarrow [/mm] Jones erhält 75 Stimmen
Da es eine hinreichende Bedingung ist, gilt:
Jones erhält 75 Stimmen [mm] \Rightarrow [/mm] Jones wird gewählt
Beides zusammen heisst also:
Jones wird gewählt [mm] \gdw [/mm] Jones erhält 75 Stimmen
> (4) Gras wächst gdw. genug regen fällt
Joa, und gdw. in logischen zeichen wäre [mm] \gdw
[/mm]
> (5) es regnet [mm]\wedge[/mm] die Sonne scheint
Würde ich so machen, anders wäre der Satz in meinen Augen recht sinnlos Würde im Nachhinein gerne wissen, was da gefordert war.
> (6) war ja bis auf das Zeichen richtig
Sofern du mit [mm] \cup [/mm] "und" gemeint hast, ja
Gruß,
Gono.
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