bed. Erwartung Finanzmathe < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Fr 30.12.2011 | | Autor: | hula |
Hallo !
Ich habe folgende Frage zur Finanzmathematik, welche eigentlich eine ein wahrscheinlichkeitstheoretische Frage ist.
Nehmen wir an, dass ich verschiedene Zufallsvariablen $ [mm] Z_k$ [/mm] gegeben haben, die den Wachstum einer Aktie angeben. Ich weiss, dass $ [mm] Z_k$ [/mm] nur die wert $ [mm] 1+z_1, \dots,1+ z_m [/mm] $ annehmen kann. Eine Filtration ist gegeben durch
$ [mm] \mathcal{F}_k=\sigma (Z_1,\dots,Z_k)$ [/mm] (ist aber unwichtig). Der Index $ k $ ist ein Zeitparameter, d.h. $ [mm] Z_k [/mm] $ beschreibt wie stark meine Aktie steigt, oder fällt, vom Zeitpunkt $k-1$ zu $k$.
Es seien Wahrscheinlichkeiten gegeben
[mm] $p_1,\dots,p_m$ [/mm] mit $ [mm] p_i:=P(Z_k=1+z_j)$. [/mm]
Die Wahrscheinlichkeiten sind nun also auch $ [mm] p_i=P(Z_k=1+z_i|\mathcal{F}_{k-1})$.
[/mm]
Mich interessiert nun die bedingter Erwartung:
$$ [mm] E(Z_k|\mathcal{F}_{k-1})$$
[/mm]
Nach meinen Notizen soll dies gleich
$$ [mm] E(Z_k|\mathcal{F}_{k-1})=\sum_{i=1}^m p_i (1+z_i)$$
[/mm]
sein. Allerdings verstehe ich nicht wieso aus folgenden Gründen:
1. Ich kenne das allgemeine Bsp für den Fall wo ich eine Partition meines Grundraumes habe, dies wäre ja hier:
$ [mm] A_i:=\{\omega | Z_k(\omega)=1+z_i\}$
[/mm]
dann gilt für $ [mm] i\not=j$ [/mm] $ [mm] A_i\cap A_j=\emptyset$ [/mm] und $ [mm] \cup_i A_i =\Omega$. [/mm]
Dann gilt für die bedingte Erwartung:
$ [mm] E(Z_k|\mathcal{F}_{k-1}) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^m E(Z_k\mathbf1\{A_i\} )\bruch{\mathbf1\{A_i\}}{p_i} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^m (1+z_i)E(\mathbf1\{A_i\} )\bruch{\mathbf1\{A_i\}}{p_i}$ [/mm]
da auf [mm] $\mathbf1\{A_i\}$ [/mm] $ [mm] Z_k$ [/mm] den Wert $ [mm] 1+z_i$ [/mm] annimmt. Also folgt
$ [mm] \sum_{i=1}^m (1+z_i)E(\mathbf1\{A_i\}) \bruch{\mathbf1\{A_i\}}{p_i} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^m (1+z_i)P(A_i) \bruch{\mathbf1\{A_i\}}{p_i}= \sum_{i=1}^m (1+z_i)\mathbf1\{A_i\} [/mm] $
Was nun aber nicht gleich obigen ist. Wo steckt mein Denkfehler?
greetz
Hula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Di 03.01.2012 | | Autor: | tae_eat |
Der zweite von dir beschriebene Ansatz ist leider falsch, daher die unterschiedlichen Ergebnisse. Der Fehler liegt dabei in der Sigma-Algebra [mm] F_k. [/mm] Dein [mm] F_k=\sigma(Z_1,...,Z_k) [/mm] enthält alle Informationen über die ersten k Zuwächste, [mm] F_{k-1} [/mm] entsprechend jene der ersten k-1. Die angegebnen Mengen [mm] A_i [/mm] sind nun aber keine wirkliche Zerlegung des Grundraumes, da dieser nicht nur den k-ten Zuwächs enthält (sondern alle, oder zumindest alle bis k). Um deine Überlegung anwenden zu können müsste [mm] F_{k-1}=\sigma(A_1,...,A_m) [/mm] gelten. [mm] \sigma(A_1,...,A_m) [/mm] ist hier aber gerade [mm] \simga(Z_k)\neq F_{k-1}. [/mm] Daher berechnest du eigentlich [mm] E(Z_k|\sigma(Z_k)), [/mm] was am Ende (siehe letzter Formelausdruck bei dir) genau [mm] Z_k [/mm] ergibt, da eine Zuvallsvariable bezüglich seiner eigenen sigma-Algebra messbar ist.
lg tae
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