bedingte Erwartung+Varianz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Do 16.07.2015 | | Autor: | qhalinaq |
| Aufgabe | [mm] Y_1, Y_2,... [/mm] i.i.d. Zufallsvariablen,
[mm] \bar Y_n [/mm] := 1/n [mm] \sum_{i=1}^n Y_i, [/mm]
[mm] S_n^2:= [/mm] 1/n [mm] \sum_{i=1}^n (Y_i-\lim_{n\rightarrow \infty}\bar Y_n)^2
[/mm]
[mm] \mathbb{E}(\lim_{n\rightarrow \infty} \bar Y_n|Y_1,...,Y_m)=\bar Y_m [/mm] ?
[mm] \mathrm{Var}(\lim_{n\rightarrow \infty}\bar Y_n|Y_1,...,Y_m, \lim_{n\rightarrow \infty} S_n^2)= 1/m*\lim_{n\rightarrow \infty} S_n^2 [/mm] ? |
Hallo,
ich habe diese Aussagen in einem Buch gelesen, sie erscheinen mir auch relativ plausibel. Ich würde es aber gerne mithilfe eines Beweises nachvollziehen können.
Hat jemand Idee, ob und wie man die Aussagen beweisen könnte?
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:30 Fr 17.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo qhalinaq!
Ich beschränke mich mal auf die erste Behauptung:
> [mm]Y_1, Y_2,...[/mm] i.i.d. Zufallsvariablen,
>
> [mm]\bar Y_n[/mm] := 1/n [mm]\sum_{i=1}^n Y_i,[/mm]
>
> [mm]\mathbb{E}(\lim_{n\rightarrow \infty} \bar Y_n|Y_1,...,Y_m)=\bar Y_m[/mm]
> ?
Hier stellt sich zunächst die Frage, ob [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty} \bar Y_n$ [/mm] überhaupt eine Zufallsgröße ist, d.h. ob dieser Limes P-f.s. existiert.
Ich vermute im Allgemeinen nein.
Beschränken wir uns nun auf den Fall, dass dieser Limes tatsächlich P-f.s. existiert (möglicherweise mit Wert [mm] $-\infty$ [/mm] oder [mm] $+\infty$).
[/mm]
Dann ist er P-f.s. konstant.
(Im Spezialfall, dass [mm] $Y_1$ [/mm] integrierbar ist, folgt dies aus dem starken Gesetz der großen Zahlen für integrierbare i.i.d.-Zufallsgrößen.)
Es gilt also
[mm] $\lim_{n\rightarrow \infty} \bar Y_n=c$ [/mm] P-f.s.
für einen festen Wert [mm] $c\in\IR\cup\{-\infty,+\infty\}$.
[/mm]
Damit gilt auch
[mm] $\mathbb{E}(\lim_{n\rightarrow \infty} \bar Y_n|Y_1,...,Y_m)=c$ [/mm] P-f.s.
Die Behauptung
[mm]\mathbb{E}(\lim_{n\rightarrow \infty} \bar Y_n|Y_1,...,Y_m)=\bar Y_m[/mm]
ist somit im Allgemeinen falsch.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:14 Fr 17.07.2015 | | Autor: | blascowitz |
> Hallo qhalinaq!
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>
> Ich beschränke mich mal auf die erste Behauptung:
>
>
> > [mm]Y_1, Y_2,...[/mm] i.i.d. Zufallsvariablen,
> >
> > [mm]\bar Y_n[/mm] := 1/n [mm]\sum_{i=1}^n Y_i,[/mm]
> >
> > [mm]\mathbb{E}(\lim_{n\rightarrow \infty} \bar Y_n|Y_1,...,Y_m)=\bar Y_m[/mm]
> > ?
> Hier stellt sich zunächst die Frage, ob
> [mm]\lim_{n\rightarrow \infty} \bar Y_n[/mm] überhaupt eine
> Zufallsgröße ist, d.h. ob dieser Limes P-f.s. existiert.
>
> Ich vermute im Allgemeinen nein.
Für eine Klärung, ob und wenn ja gegen welchen Grenzwert [mm] $\bar Y_n$ [/mm] konvergiert, kannst du beispielsweise ![[]](/images/popup.gif) hier den Satz 10.9 konsultieren.
>
>
> Beschränken wir uns nun auf den Fall, dass dieser Limes
> tatsächlich P-f.s. existiert (möglicherweise mit Wert
> [mm]-\infty[/mm] oder [mm]+\infty[/mm]).
>
> Dann ist er P-f.s. konstant.
> (Im Spezialfall, dass [mm]Y_1[/mm] integrierbar ist, folgt dies aus
> dem starken Gesetz der großen Zahlen für integrierbare
> i.i.d.-Zufallsgrößen.)
>
> Es gilt also
>
> [mm]\lim_{n\rightarrow \infty} \bar Y_n=c[/mm] P-f.s.
>
> für einen festen Wert [mm]c\in\IR\cup\{-\infty,+\infty\}[/mm].
>
> Damit gilt auch
>
> [mm]\mathbb{E}(\lim_{n\rightarrow \infty} \bar Y_n|Y_1,...,Y_m)=c[/mm]
> P-f.s.
>
> Die Behauptung
>
> [mm]\mathbb{E}(\lim_{n\rightarrow \infty} \bar Y_n|Y_1,...,Y_m)=\bar Y_m[/mm]
>
> ist somit im Allgemeinen falsch.
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Fr 17.07.2015 | | Autor: | qhalinaq |
Schon mal vielen Dank für die Antwort! 
Ich habe noch ein mal nachgedacht, kann man nicht sagen, dass
[mm] $\mathbb{E}(\lim_{n\rightarrow \infty} \bar Y_n|Y_1,...,Y_m)=\mathbb{E}(\bar Y_m|Y_1,...,Y_m)$?
[/mm]
Und dann, da [mm] $\bar Y_m$ $\sigma(\{Y_1,...,Y_m\})$-messbar [/mm] ist,
dass
[mm] $\mathbb{E}(\bar Y_m|Y_1,...,Y_m)=\bar Y_m$
[/mm]
gilt? Wenn nicht, wo liegt mein Denkfehler?
Viele Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Fr 17.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Ich habe noch ein mal nachgedacht, kann man nicht sagen,
> dass
>
> [mm]\mathbb{E}(\lim_{n\rightarrow \infty} \bar Y_n|Y_1,...,Y_m)=\mathbb{E}(\bar Y_m|Y_1,...,Y_m)[/mm]?
Im Allgemeinen nein.
Warum sollte das gelten?
Betrachte mal eine unendliche Folge voneinander unabhängiger Würfelwürfe mit einem fairen Würfel, wobei [mm] $Y_n$ [/mm] die im n-ten Wurf geworfene Augenzahl angebe.
Dann nimmt [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty} \bar Y_n$ [/mm] (und damit auch die Zufallsgröße [mm] $E(\lim_{n\rightarrow \infty} \bar Y_n|Y_1,...,Y_m)$) [/mm] nach dem starken Gesetz der großen Zahlen P-f.s. stets den Wert 3,5 an (denn [mm] $3,5=EY_1$).
[/mm]
Die Zufallsgröße [mm] $\bar Y_m$ [/mm] (die auch eine Version des bedingten Erwartungswertes [mm] $E(\bar Y_m|Y_1,\ldots,Y_m)$ [/mm] ist, wie du im Folgenden korrekt feststellst) hingegen nimmt je nach Würfelergebnis in den ersten m Würfen verschiedene Werte mit positiver Wahrscheinlichkeit an.
> Und dann, da [mm]\bar Y_m[/mm] [mm]\sigma(\{Y_1,...,Y_m\})[/mm]-messbar ist,
> dass
>
> [mm]\mathbb{E}(\bar Y_m|Y_1,...,Y_m)=\bar Y_m[/mm]
>
> gilt?
Wie bereits angedeutet: Dieser Teil deiner Überlegungen ist korrekt (im Sinne von: die rechte Seite der Gleichung ist eine Version der linken Seite).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Fr 17.07.2015 | | Autor: | qhalinaq |
Ich hatte mir das so überlegt, weil ja
[mm] $\mathbb{E}(\bar Y_m)=1/m* \sum_{i=1}^m \mathbb{E} (Y_i)= \frac{m}{m} \mathbb{E}(Y_1)=\mathbb{E}(\mathbb{E}(Y_1))\overset{\text{f.s.}}{=} \mathbb{E}(\lim_{n\rightarrow \infty} \bar Y_n)$.
[/mm]
Stimmt das nicht?
LG und danke für die Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Fr 17.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
Der Einfachheit halber nehme ich mal an, dass [mm] $Y_1$ [/mm] integrierbar ist.
> Ich hatte mir das so überlegt, weil ja
>
> [mm]\mathbb{E}(\bar Y_m)=1/m* \sum_{i=1}^m \mathbb{E} (Y_i)= \frac{m}{m} \mathbb{E}(Y_1)=\mathbb{E}(\mathbb{E}(Y_1))\overset{\text{f.s.}}{=} \mathbb{E}(\lim_{n\rightarrow \infty} \bar Y_n)[/mm].
>
> Stimmt das nicht?
Doch, diese Gleichungskette ist völlig korrekt.
(Etwas ungewöhnlich ist, dass du bei der letzten Gleichheit zweier reeller Zahlen (!) von "Gleichheit fast sicher" sprichst.
Es gilt nach dem starken Gesetz der großen Zahlen [mm] $\lim_{n\to\infty}\bar Y_n=E(Y_1)$ [/mm] P-f.s., also stimmen die Zahlen [mm] $E(\lim_{n\to\infty}\bar Y_n)$ [/mm] und [mm] $E(E(Y_1))=E(Y_1)$ [/mm] überein.)
Anscheinend möchtest du auf eine analoge Überlegung mit bedingten Erwartungswerten anstelle von Erwartungswerten hinaus?
Möchtest du sie präsentieren?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Sa 18.07.2015 | | Autor: | qhalinaq |
Genau, demnach würde doch auch gelten (vorausgesetzt [mm] $Y_1$ [/mm] ist integrierbar) , dass
[mm] $\mathbb{E}(Y_m|Y_1,...,Y_m)= 1/m*\sum_{i=1}^m \mathbb{E}(Y_i|Y_1,...,Y_m)= \frac{m}{m} \mathbb{E}(Y_1|Y_1,...,Y_m)=\mathbb{E}(\mathbb{E}(Y_1)|Y_1,...,Y_m)=\mathbb{E}(\lim_{n\rightarrow \infty}\bar Y_n|Y_1,...,Y_M)$?
[/mm]
Oder nicht?
Ünd danke für den Hinweis mit der f.s. Konvergenz!
Viele Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Sa 18.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Genau, demnach würde doch auch gelten (vorausgesetzt [mm]Y_1[/mm]
> ist integrierbar) , dass
>
> [mm]\mathbb{E}(Y_m|Y_1,...,Y_m)= 1/m*\sum_{i=1}^m \mathbb{E}(Y_i|Y_1,...,Y_m)= \frac{m}{m} \mathbb{E}(Y_1|Y_1,...,Y_m)=\mathbb{E}(\mathbb{E}(Y_1)|Y_1,...,Y_m)=\mathbb{E}(\lim_{n\rightarrow \infty}\bar Y_n|Y_1,...,Y_M)[/mm]?
>
> Oder nicht?
Die äußeren beiden Gleichheiten stimmen P-f.s.
Die inneren beiden Gleichheiten sind im Allgemeinen falsch:
Es gilt [mm] $E(Y_i|Y_1,\ldots,Y_m)=Y_i$ [/mm] P-f.s. für [mm] $i=1,\ldots,m$ [/mm] und daher nur dann [mm] $E(Y_i|Y_1,\ldots,Y_m)=E(Y_1|Y_1,\ldots,Y_m)$ [/mm] P-f.s., wenn schon [mm] $Y_i=Y_1$ [/mm] P-f.s. gilt.
Da [mm] $E(E(Y_1)|Y_1,\ldots,Y_m)=E(Y_1)$ [/mm] P-f.s. gilt (Warum?), gilt auch nur dann [mm] $\mathbb{E}(Y_1|Y_1,...,Y_m)=\mathbb{E}(\mathbb{E}(Y_1)|Y_1,...,Y_m)$, [/mm] wenn schon [mm] $Y_1=E(Y_1)$ [/mm] P-f.s. gilt, also wenn [mm] $Y_1$ [/mm] P-f.s. konstant ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 So 19.07.2015 | | Autor: | qhalinaq |
Ok das macht Sinn, vielen vielen Dank! :)
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