berechnung der max. Fläche < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:16 So 27.09.2009 | | Autor: | Barry |
Hallo Leute
Ich habe eine Aufgabe und habe dazu 2 gleichungen aufstellen können weiß aber nicht, wie ich weiter machen soll.
Aufgabe: Einem Quadrat mit der Seitenlänge 6m soll ein gleichschenkliges Dreieck so einbeschrieben werden, dass eine seiner Ecken mit einer Quadratecke zusammenfällt. Wie lang sind die Seiten des Dreiecks zu wählen, damit sein Flächeninhalt maximal wird?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich hatte jetzt:
1.Gleichung: x²+x²= g²
2.Gleichung: A=6*6
A= 36m²
Nun weiß ich nicht ob mir das weiterhilft und wie ich weitermachen soll
wäre lieb wenn mir jemand helfen würde
Liebe Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo!
> Aufgabe: Einem Quadrat mit der Seitenlänge 6m soll ein
> gleichschenkliges Dreieck so einbeschrieben werden, dass
> eine seiner Ecken mit einer Quadratecke zusammenfällt. Wie
> lang sind die Seiten des Dreiecks zu wählen, damit sein
> Flächeninhalt maximal wird?
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Ich hatte jetzt:
> 1.Gleichung: x²+x²= g²
Das ist schonmal ein guter Ansatz.
> 2.Gleichung: A=6*6
> A= [mm] 36m^{2}
[/mm]
Die Gleichung bringt uns leider nicht so viel, weil das dürfte ja bekannt sein.
Es handelt sich hier ja um eine Extremwertaufgabe, die Fläche des Dreiecks soll maximal werden. Normalerweise ist jetzt also das Ziel, zunächst erstmal die Fläche des Dreiecks durch bekannte Größen auszudrücken.
Welche Möglichkeiten kennst du alles, die Fläche eines Dreiecks in Abhängigkeit von den Höhen, Seitenlängen, Winkeln auszurechnen?
Am üblichsten ist eigentlich die Variante F = (Grundseite*Höhe)/2. Allerdings biete die sich hier nicht an, weil man keine Höhe des Dreiecks sofort ablesen kann. Auch die anderen Flächeninhaltsformeln erweisen sich nicht als nützlich.
Ansatz:
Deswegen nutzen wir die restliche Fläche des Quadrats, um die Fläche des Dreiecks auszurechnen.
Oben links das kleine Dreieck hat zum Beispiel eine Fläche von [mm] \frac{x^{2}}{2}. [/mm] Die beiden gleichgroßen Dreiecke oben rechts und unten links im Quadrat haben die Fläche [mm] \frac{1}{2}*6*(6-x). [/mm] Also hat das gleichschenklige Dreieck eine Fläche von
$F = 36 - [mm] \frac{x^{2}}{2} [/mm] - [mm] 2*\frac{1}{2}*6*(6-x)$
[/mm]
So, nun bist du wieder dran. Wir haben nun die Fläche des gleichschenkligen Dreiecks nur mit x ausgedrückt. Wie musst du weiter vorgehen?
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 So 27.09.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo steppenhahn, die beiden Dreiecke oben rechts, unten links haben eine Fläche von jeweils [mm] \bruch{1}{2}*6*(6-x), [/mm] beide zusammen also 6*(6-x), Steffi
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Hallo Steffi,
danke für die Korrektur 
Ist mir, nachdem ich die Antwort gegeben hatte und ich nochmal drübernachgedacht hatte auch aufgefallen, aber ich war unterwegs... - Habs jetzt korrigiert.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 So 27.09.2009 | | Autor: | Barry |
Okai ich habe jetzt folgendes gerechnet dies kann aber nicht stimmen:
kleines Dreieck oben links: A1 = [mm] \bruch{x*x}{2} [/mm] = [mm] \bruch{x^{2}}{2}
[/mm]
anderes Dreieck: [mm] (6-x)*6*\bruch{1}{2}=A2
[/mm]
Gleichschenkliges Dreieck:
A= [mm] 36-\bruch{x^{2}}{2}-2*\bruch{1}{2}*6*(6-x)
[/mm]
A= [mm] 36-\bruch{x^{2}}{2}-6*(6-x)
[/mm]
A= [mm] 36-\bruch{x^{2}}{2}-36+6x
[/mm]
A= [mm] \bruch{x^{2}}{2}+6x
[/mm]
A= [mm] -\bruch{1}{2}*x^{2}+6x
[/mm]
Scheitelpunkt:
[mm] =\bruch{1}{2}*(x^{2}-12x)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*(x^{2}-12x+36)-36
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*[(x-6)^{2}-36]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*(x-6)^{2}+18
[/mm]
x= 6
Das kann doch jetzt nicht sein, da die gesammte seitenlänge 6 m beträgt...
wäre lieb wenn ihr weiterhelfen könntet :)
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 So 27.09.2009 | | Autor: | abakus |
> Okai ich habe jetzt folgendes gerechnet dies kann aber
> nicht stimmen:
>
> kleines Dreieck oben links: A1 = [mm]\bruch{x*x}{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{x²}{2}[/mm]
>
> anderes Dreieck: [mm](6-x)*6*\bruch{1}{2}=A2[/mm]
>
> Gleichschenkliges Dreieck:
>
> A= [mm]36-\bruch{x²}{2}-2*\bruch{1}{2}*6*(6-x)[/mm]
>
> A= [mm]36-\bruch{x²}{2}-6*(6-x)[/mm]
>
> A= [mm]36-\bruch{x²}{2}-36+6x[/mm]
>
> A= [mm]\bruch{x²}{2}+6x[/mm]
Hallo,
dein "hoch 2" wird nicht richtig angezeigt.
>
> A= [mm]-\bruch{1}{2}*x²+6x[/mm]
>
> Scheitelpunkt:
>
> [mm]=\bruch{1}{2}*(x²-12x)[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2}*(x²-12x+36)-36[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2}*[(x-6)²-36][/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2}*(x-6)²+18[/mm]
>
> x= 6
>
> Das kann doch jetzt nicht sein, da die gesammte
> seitenlänge 6 m beträgt...
> wäre lieb wenn ihr weiterhelfen könntet :)
> Lg
Es ist aber so, dass in diesem Fall der Flächeninhalt maximal (halber Quadratflächeninhalt, also 18 [mm] cm^2) [/mm] ist. Versuche doch mal, statt 6 nur 5,9 zu nehmen, da wird es weniger.
Gruß Abakus
>
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