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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:15 Sa 23.10.2004 | | Autor: | tugba |
Hallo!
Ich brauche auch hilfe bei der Aufgabe:
1/supA = inf A hoch minus eins
ich würde mich freuen, wenn ich ein Antwort auf diese frage bekommen würde.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:18 So 24.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Tugba!
Lautet die Gleichung [mm] $\frac{1}{sup(A)}=inf(A^{-1})$? [/mm] Soll dies für beliebige Mengen bewiesen werden oder gibt es Vorgaben? Ist mit [mm] $A^{-1}$ [/mm] das Komplement gemeint?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:04 So 24.10.2004 | | Autor: | tugba |
Hallo m00xi!
Erst mal danke, dass du dich um meine frage kümmerst.
Die Gleichung lautet so wie du es geschrieben hast.
$ [mm] A^{-1}$ :={\bruch{1}{a} ; a\in A} [/mm] wobei [mm] a\ge1 [/mm] für alle [mm] a\in [/mm] A gilt.
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Grüße!
Also, mein Hinweis: arbeite mit den Definitionen!
Du hast $A [mm] \subseteq \IR$ [/mm] gegeben mit der Eigenschaft: [mm] $\forall \; [/mm] a [mm] \in [/mm] A: a [mm] \geq [/mm] 1$.
Dann ist die Menge [mm] $A^{-1} [/mm] = [mm] \{ \frac{1}{a} : a \in A \}$ [/mm] definiert worden.
Zeige zunächst, dass [mm] $A^{-1}$ [/mm] nach unten beschränkt ist und damit das Infimum nicht gerade $- [mm] \infty$ [/mm] ist. Wenn Du das gezeigt hast, dann definiere einfach $i$ als das gesuchte Infimum. Dann weißt Du zwei Dinge:
i) $i [mm] \leq [/mm] b$ für jedes $b [mm] \in A^{-1}$
[/mm]
ii) Falls es ein $j [mm] \in \IR$ [/mm] gibt mit $j [mm] \leq [/mm] b$ für jedes $b [mm] \in A^{-1}$, [/mm] so folgt: $j [mm] \leq [/mm] i$.
Das sind einfach die formalen Eigenschaften des Infimums: es ist eine untere Schranke ( i) ) und es ist die größte untere Schranke.
Jetzt würde ich eine Fallunterscheidung machen:
Fall 1: $i = 0$. Dann mußt Du zeigen, dass $A$ nach oben unbeschränkt ist, also [mm] $\sup [/mm] (A) = [mm] \infty$ [/mm] gilt.
Fall 2: $i [mm] \not= [/mm] 0$. In dem Fall definierst Du $s := [mm] \frac{1}{i}$ [/mm] und mußt zeigen, dass $s = [mm] \sup [/mm] (A)$. Dazu mußt Du zeigen, dass $s$ eine obere Schranke von $A$ ist und weiter, dass $s$ die kleinste Zahl mit der Eigenschaft ist. Dazu kannst Du die formalen Eigenschaften von $i$ benutzen.
Also denn - viel Spaß! 
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 So 24.10.2004 | | Autor: | SabineG |
also, hab das jetzt mal versucht:
wenn ich die menge auf ein inf untersuchen will, steht bei mir folgendes:
= {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,....} somit wär ein inf gefunden und zwar 0, was ja nicht richtig sein kann. Das liegt dann sicher an der ^{-1} , die da bei dem A steht. Wie wirkt sich die denn auf die Definition der Menge aus?
im Moment sind noch ein paar andere Dinge unklar (was sicher nicht an der Erklärung liegt sondern an meinen verwirrten Gedanken), aber danach frag ich später. Vielleicht wird ja mit der Antwort auf diese Frage alles schon ein bisschen deutlicher.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Sabine!
Bleiben wir doch mal bei deinem Beispiel:
$A= [mm] \IN [/mm] = [mm] \{1,2,3,4,\ldots\}$.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $\sup(A) [/mm] = + [mm] \infty$,
[/mm]
also:
[mm] $\frac{1}{\sup(A)} [/mm] = 0$.
Weiterhin ist
[mm] $A^{-1} [/mm] = [mm] \{\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4},\ldots\}$.
[/mm]
Es gilt (wie du ja selber gesehen hast):
[mm] $\inf(A^{-1}) [/mm] = 0$.
Daher gilt hier:
[mm] $\sup(A) [/mm] = [mm] \inf(A^{-1})$.
[/mm]
Du sollst nun zeigen, dass dies für jede Menge $A [mm] \subset \IR$ [/mm] gilt.
Lars hat dir den Weg dorthin glänzend skizziert, du musst dich jetzt nur mal ransetzen und es versuchen. Melde dich bitte wieder mit einem Lösungsvorschlag.
Liebe Grüße
Julius
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