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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:49 Mi 06.07.2005 | | Autor: | annaL |
Hallo!
Ich bräuchte auch eure Hilfe noch einmal bei folgender Funktion:
f: R --> R, f (x) = [mm] \bruch{x}{ x^{2}+1}
[/mm]
Die Aufgabenstellung ist es zu ziegen dass die Funktion beschränkt ist. Hierzu habe ich ersteinmal ein paar Werte ausgerechnet.
f(0) = 0
f(1)= [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
f(2) = [mm] \bruch{2}{5}
[/mm]
f(3)= [mm] \bruch{3}{10}
[/mm]
f(4)= [mm] \bruch{4}{17}
[/mm]
f(5)= [mm] \bruch{5}{26}
[/mm]
f(-1)= - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
f(-2)= - [mm] \bruch{2}{5}
[/mm]
f(-3)= - [mm] \bruch{3}{10}
[/mm]
f(-4)= - [mm] \bruch{4}{17}
[/mm]
f(-5)= - [mm] \bruch{5}{26} [/mm] usw.
Es ist also zu sehen, dass [mm] f_{x+1} \le f_{x} [/mm] ist für die positiven reellen Zahlen und die null. Das würde heißen dass die Funktion monoton fällt.
Bei den negativen reellen Zahlen ist jedoch zu beobachten, dass [mm] f_{x+1} [/mm] > [mm] f_{x} [/mm] ist, was bedeuten würde, dass die Funktion in diesem Bereich streng monoton wächst.
Ist das so richtig? Also ist es möglich dass eine Funktion in einem Breich fällt und im anderen wächst? Ich habe auch den Graph dazu gezeichnet.
Aber ich habe jetzt ein Problem damit, zu zeigen dass die Funktion beschränkt ist.
Könnt ihr mir dabei behilflich sein?
Das wäre sehr lieb!!!!!!!!!
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Guten Morgen Anna!
> f: R --> R, f (x) = [mm]\bruch{x}{ x^{2}+1}[/mm]
Zunächst einmal reicht es nicht aus, lediglich ganzzahlige Werte einzusetzen, wenn -wie in diesem Fall- die Funktion [mm] $\red{\IR} \rightarrow \IR$ [/mm] definiert ist.
Schließlich können ja auch zwischen diesen ganzzahligen Bereichen unterschiedliche Monotoniebereiche vorliegen (siehe Skizze unten).
Du kannst doch über Differentialrechnung die beiden (relativen) Extrema berechnen und die zugehörigen Funktionswerte ermitteln.
Durch Grenzwertbetrachtung für $x [mm] \rightarrow \pm \infty$ [/mm] kannst Du dann nachweisen, daß diese relativen Extrema auch die absoluten Extrema sind [mm] $\Rightarrow$ [/mm] die Funktion ist beschränkt.
Allgemein kannst Du für eine obere Schranke A auch zeigen, daß gilt:
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x}{x^2+1} [/mm] \ [mm] \red{\le} [/mm] \ A \ \ [mm] \forall [/mm] \ x \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IR$
[/mm]
(untere Schranke analog)
Diese Ungleichung nun umformen nach x und (hoffentlich  ) eine wahre Aussage erhalten.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß vom
Roadrunner
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Mi 06.07.2005 | | Autor: | annaL |
Hallo Roadrunner!
Vielen dank für die Rückmeldung. Jedoch haben wir die Differentialrechnung und die Berechnung der Extrema noch nicht durchgenommen, aus diesem Grunde komme ich auch nicht weiter!
Wie kann ich die Aufgabe dann lösen????
HILFE.........
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Hallo Anna!
Aus dem Einsetzen der verschiedenen x-Werte hast Du ja den "Verdacht", daß [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] eine obere Schranke ist.
Dann muß ja gelten: [mm] $\bruch{x}{x^2+1} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] \ \ [mm] \forall [/mm] \ x \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IR$
[/mm]
Durch (Äquivalenz-)Umformungen mußt Du diese Ungleichung in eine (offensichtlich) wahre Aussage bringen.
Tipp: Multipliziere beide Seiten mit [mm] $2*\left(x^2+1\right)$ [/mm] und bringe anschließend alles auf die rechte Seite.
Dann solltest Du eine binomische Formel erkennen ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Mi 06.07.2005 | | Autor: | annaL |
Genau, dann sehe ich die binomische Formel :)
Aber das sagt mir ja noch nichts darüber aus, ob die Funktion nach oben bzw. unten beschränkt ist?
Wie bekomme ich das raus?
Ist halt wirklich blöd eine solche Aufgabe ohne Extrema zu lösen :(
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Hallo ...
Aber durch diese Umformung haben wir doch gezeigt, daß unsere Funktion nach oben beschränkt ist!!
Wir haben behauptet, daß alle Funktionswerte $f(x) \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] !
Und durch die Äquivalenzumformungen haben wir den Wahrheitswert dieser Ungleichung nicht verändert.
Das heißt doch, wenn unsere letzte Zeile stimmt (= wahr ist), muß dies auch für die 1. Zeile gelten. Wir haben damit eindeutig nachgeweisen, daß [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] eine obere Schranke ist.
[mm] $\bruch{x}{x^2+1} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2}$ $\gdw$ [/mm] ... [mm] $\gdw$ [/mm] $0 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] (x-1)^2$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") wahre Aussage!
Kannst Du nun auch die untere Schranke nachweisen?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Mi 06.07.2005 | | Autor: | annaL |
Super :)
Also die untere Schranke....
Mit der unteren schranke ist das ja wieder so ein Problem. Da habe ich ja auch einige Werte ausgerechnet.....
Es fing mit - 0,5 an.
Die untere Schranke wäre ja dann eine Zahl, die kleiner ist als dieser Wert.
Aber die lässt sich doch gar nicht festlegen oder bin ich nun wieder durcheinander?
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Hallo Anna!
Du hast also den Verdacht, daß $- \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] eine untere Schranke ist?
Dann versuche doch einfach mal folgendes nachzuweisen:
[mm] $\bruch{x}{x^2+1} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ - \ [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
Vorgehensweise wie oben ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Mi 06.07.2005 | | Autor: | annaL |
also, dann hätte ich folgendes:
[mm] \bruch{x}{x^2+1} \ge [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] , jetzt multipliziere ich mit 2( [mm] x^2+1)
[/mm]
dann erhalte ich :
2x [mm] \ge -x^2 [/mm] -1
dann bringe ich alles auf die linke seite und erhalte:
[mm] x^2+2x+1 \ge [/mm] 0
auch das ist wieder eine binomische Formel und ich erhalte :
[mm] (x+1)^2 \ge [/mm] 0, was stimmt :)
RICHTIG????
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Hallo Anna!
> [mm](x+1)^2 \ge[/mm] 0, was stimmt :)
>
> RICHTIG????
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !!
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Mi 06.07.2005 | | Autor: | annaL |
wenn ich also eien funktion gegeben habe, dann lege ich am sinnvollsten zuerst eine wertetabelle an, oder??
dann kann ich vermutungen über die oberste und unterste schranke aufstellen und zum schluss muss ich es dann nur noch zeigen, so wie hier gerade eben, oder?
ist das allgemein gültig???
DANKE!!!!!!!!
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Hallo Anna!
> wenn ich also eien funktion gegeben habe, dann lege ich am
> sinnvollsten zuerst eine wertetabelle an, oder??
Das kann sinnvoll sein, muß es aber nicht immer ...
In unserem Beispiel wurde ja die obere Schranke bei einem x-Wert von [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$ erreicht. Was aber, wenn diese Schranke erst bei $x \ = \ 11541$ erreicht wird oder gar bei $x [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] (Asymptote) ??
Auf jeden Fall lohnt immer eine Grenzwertbetrachtung für $x [mm] \rightarrow \pm \infty$ [/mm] ...
> dann kann ich vermutungen über die oberste und unterste
> schranke aufstellen und zum schluss muss ich es dann nur
> noch zeigen, so wie hier gerade eben, oder?
>
> ist das allgemein gültig???
Wenn man dann einen Verdacht bezüglich der Schranke hat ... JA!
Manchmal kann/muß man aber auch über Monotonie argumentieren (so wie Du das hier zu Beginn versucht hast).
Gruß vom
Roadrunner
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