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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Do 12.06.2008 | | Autor: | lorena |
| Aufgabe | fk(x) = - 1/k *x hoch 4 +k
Bestimme k so,dass der Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Graphen von fk und der 1. achse 8* wurzel 5 beträgt. |
Hallo,
da wir bald eine Klausur schreiben, wollte ich diese Aufgabe als Übung rechnen, weil so eine aufjedenfall dran kommt. Da ich aber absolut nicht weiss was ich machen soll,wollte ich euch um Rat fragen. Es wäre sehr nett wenn ich dies beantwortet bekommen würde. Der einzige Ansatz der mir einfällt ist das man zurst die Nullstellen berechnet. Naja aber weiter weiss ich nicht so recht.
Danke schoneinmal# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Do 12.06.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
[mm] f_k(x)=-\bruch{1}{k}x^4+k
[/mm]
Erstmal solltest du eine grobe Vorstellung haben, die die Funktion verläuft!
Wenn k=1 ist z.B. hast du ja
[mm] f_1(x)=-x^4+1.
[/mm]
Die kannst du dir sicher vorstellen.
Dann weiter im Text: Du weißt, dass die Funktion 2 Nullstellen hat, das hat sie immer, auch wenn k kleiner als 0 ist. Für k=0 ist die Funktion nicht definiert, kannst du also weglassen.
Und dann hast du recht, jetzt musst du die Nullstellen der Funktionen bestimmen!
[mm] -\bruch{1}{k}x^4+k=0
[/mm]
...
Das sind dann auch deine Integrationsgrenzen.
Wenn die linke Nullstelle [mm] x_1 [/mm] ist und die rechte Nullstelle [mm] x_2, [/mm] dann hast du einerseits
[mm] \integral_{x_1}^{x_2}{f_k(x) dx}=8*\wurzel{5} [/mm] zu lösen und andererseits [mm] \integral_{x_1}^{x_2}{f_k(x) dx}=-8*\wurzel{5}, [/mm] da die Fläche ja auch (für k<0) unter der x-Achse liegt.
Außer in der Aufgabe steht, dass k>0 gelten soll, dann brauchst du nur die 1. Gleichung zu betrachten!
Wenn du dir die Arbeit etwas vereinfachen willst, kannst du dir auch überlegen, dass die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
Damit wäre [mm] \integral_{x_1}^{x_2}{f_k(x) dx}=2*\integral_{0}^{x_2}{f_k(x) dx}.
[/mm]
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Do 12.06.2008 | | Autor: | lorena |
Vielen,vielen Dank. Wenn man das jetzt so liest ist das natürlich nachzuvollziehen. aber danke für deine schnelle antwort. =)
eine frage noch dazu ..... wenn ich nun als bereiche sozusagen x1 und x2 habe und dann wie gesagt fk(x) dx = 8* wurzel 5 und das gleiche noch einmal mit dem minus vorzeichen habe,wie löse ich diese integral-gleichung denn nun ? kann ich das ganz nromal mit dem taschen rechner berechnen? sonst hab ich alles nachvollziehen können.
Danke Teufel !! liebe grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Do 12.06.2008 | | Autor: | Teufel |
Öhm ich weiß nicht, ob dein Taschenrechner das kann, aber wenn es geht, dann mach es so :)
Ansonsten kannst du das Integral auch ganz normal lösen!
Also Stammfunktion bilden, obere Grenze minus untere Grenze und so. Und das dann =dem gewünschten Flächeninhalt setzen! Hast ja insgesamt dann nur eine Variable drin, das k nämlich.
Kein Problem und viel Glück dann bei der Klausur :P
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Do 12.06.2008 | | Autor: | lorena |
Okay,so mach ichs :) vielen dank nocheinmal......
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Do 12.06.2008 | | Autor: | lorena |
hi da bin ich nochmal....hab nun veruscht diesen weg zu gehen hab da aber was ganz komisches raus..... ich glaub der fehler liegt bei meiner stammfkt. also hab die nullstellen als bereiche genommen die stammfkt(wahrscheinlich fehlerhaft) aufgestellt und habe dann die bereiche einegsetzt x2-x1 so da kam was merkwürdiges raus iwas mit hoch 7/2 im nenner .dann hab ich das mit dem flächenihalt gleichgesetzt aber das stimtm glaub ich nicht.... kann mir vlt in bezug dazu jmd helfen die funktion ist -1/kx hoch 4+k dankeschön xD
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Do 12.06.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi nochmal!
[mm] f_k(x)=-\bruch{1}{k}x^4+k
[/mm]
ist deine Funktion oder?
[mm] x_1=-\wurzel{k}
[/mm]
[mm] x_2=\wurzel{k}
[/mm]
Und deine Stammfunktion integriert:
[mm] F_k(x)=-\bruch{1}{5k}x^5+kx
[/mm]
Damit gilt:
[mm] \integral_{-\wurzel{k}}^{\wurzel{k}}{(-\bruch{1}{k}x^4+k) dx}=[-\bruch{1}{5k}x^5+kx]^{\wurzel{k}}_{-\wurzel{k}}=...
[/mm]
Hattest du das so weit auch?
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Do 12.06.2008 | | Autor: | lorena |
der fehler liegt also doch in meiner stammfunktion..ich hatt statt x hoch 5 iwie was anderes gemacht.aber ich versuchs nun mal so weiter....danke für deine hilfe..ich werd mal weiter rumwerkeln an der aufgabe .) sag dann bescheid ob es geklappt hat ...
Liebe Grüße an Dich
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Hallo lorena,
wie schon diskutiert, sind die Integrationsgrenzen die Nullstellen:
[mm] f(x)=-\bruch{1}{k}x^4+k [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x^4 [/mm] = [mm] k^2
[/mm]
oder x = [mm] \wurzel{k}
[/mm]
Wegen der schon angegebenen Symmetrie ist folgende Integral zu bestimmen
[mm] \integral_{0}^{\wurzel{k}}({-\bruch{1}{k}x^4+k )dx}
[/mm]
Dieses Integral muss (wegen der Halbierung ) [mm] 4\wurzel{5} [/mm] sein!
Integrieren ergibt
[mm] \integral_{0}^{\wurzel{k}}({-\bruch{1}{k}x^4+k )dx} [/mm] = [mm] [-\bruch{1}{5k}x^5+kx] [/mm] in den Grenzen [mm] \wurzel{k} [/mm] und 0.
Einsetzen der oberen Grenze liefert (untere Grenze liefert nur 0)
[mm] -\bruch{k^2\wurzel{k}}{5k}+k\wurzel{k} [/mm] = [mm] 4\wurzel{5}
[/mm]
Vereinfachen der Gleichung liefert
[mm] -\bruch{k\wurzel{k}}{5}+k\wurzel{k} [/mm] = [mm] 4\wurzel{5}
[/mm]
oder
[mm] \bruch{4k\wurzel{k}}{5} [/mm] = [mm] 4\wurzel{5}
[/mm]
Kürzen mit 4 und Erweitern mit 5 zeigt
[mm] k\wurzel{k} [/mm] = [mm] 5\wurzel{5}
[/mm]
mit der eindeutigen Lösung k = 5
ok?
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