bewegungsaufgabe mit koord. < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Sa 05.12.2009 | | Autor: | ely |
| Aufgabe | | Ein Flugzeug befindet sich um 9.00 bei den Koodinaten (200,-100) und fliegt mit Geschwindikeit v1=800km/h in Richtung (300,-400) in der Höhe 10 km. Ein zweites Flugzeug befindet sich um 8.00 bei den Koordinaten (800,100) in gleicher Höhe und fliegt mit Geschwindikeit v2=900km/h in Richtung (-500,-1200). Besteht die Gefahr einer Kollision? Lösen Sie zuerst zeichnerisch! (Alle Koordinatenangaben in der Eiheit 100 Kilometer |
Hi!
ich geb Nachhilfe und gestern ist einer der Schüler mit dieser Aufgabe gekommen.Ehrlich gesagt hab ich keine Ahnung. Ich kenn zwar bewegungsaufgaben und auch Vektorrechnung aber in kombination wüsst ich nicht was ich da machen soll.Hab ihn am Montag nochmal und gesagt ich löse die Aufgaben bis dahin. Aber auch auf den zweiten Blick weis ich nicht weiter.
Hoffe es kann mir wer helfen.
lg ely
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Sa 05.12.2009 | | Autor: | ely |
die Lösung ist anscheinend: (laut deren Lehrer)
[mm] \vektor{4,54\\ -7,31} [/mm] + t [mm] \vektor{-3,46 \\ -8,31} =\vektor{2 \\ 1}+t\vektor{4,8\\ -6.4}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Sa 05.12.2009 | | Autor: | abakus |
> die Lösung ist anscheinend: (laut deren Lehrer)
>
> [mm]\vektor{4,54\\ -7,31}[/mm] + t [mm]\vektor{-3,46 \\ -8,31} =\vektor{2 \\ 1}+t\vektor{4,8\\ -6.4}[/mm]
>
Das ist sicher so gemeint:
[mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] steht für den Punkt (200|100) des einen Flugzeugs um 9 Uhr.
Die gegebenen Koordinatenangabe des zweiten Flugzeugs bezieht sich auf 8 Uhr. Man hat es erst mal eine Stunde weiterfliegen lassen, um seine Position ebenfalls um 9 Uhr zu ermitteln (die dürfte dann wohl (454|-731) sein).
Da sich die Geschwindigkeiten wie 9:8 verhalten, müssten das auch die Richtungsvektoren tun, wenn t jeweils für die gleiche seit 9 Uhr verstrichene Zeit steht.
Vergleiche mal die Beträge von [mm] \vektor{-3,46 \\ -8,31} [/mm] und [mm] \vektor{4,8\\ -6.4}.
[/mm]
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Sa 05.12.2009 | | Autor: | ely |
ja stimmt die Beträge sind ungefär 9 und 8. nur wie komm ich auf die vektoren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Sa 05.12.2009 | | Autor: | abakus |
> ja stimmt die Beträge sind ungefär 9 und 8. nur wie komm
> ich auf die vektoren.
Würdest du als Richtunsvektor den Vektor [mm] \vektor{300\\400} [/mm] nehmen, wäre der Betrag davon nach Pythagoras 500.
Da in der Lösung offensichtlich -um mit kleineren Zahlen zu arbeiten- alles durch 100 geteilt wurde, würde [mm] \vektor{3\\4} [/mm] entsprechend den Betrag 5 haben. Dann hat 1/5 von [mm] \vektor{3\\4} [/mm] , also [mm] \vektor{0,6\\0,8}, [/mm] den Betrag 1.
Für die Geschwindigkeit 800 benötigen wir aber einen Vektor der Länge 8, deshalb wird [mm] \vektor{0,6\\0,8} [/mm] mit 8 multipliziert, und man erhält [mm] \vektor{8,6\\6,4}.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Sa 05.12.2009 | | Autor: | ely |
ok ein Licht ist mir schon aufgegangen. (300,-400) ist der richtungsvektor ich dachte in richtung des punktes (300,-400) .
dann kommen da natürlich andere zahlen raus. 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Sa 05.12.2009 | | Autor: | abakus |
> Ein Flugzeug befindet sich um 9.00 bei den Koodinaten
> (200,-100) und fliegt mit Geschwindikeit v1=800km/h in
> Richtung (300,-400) in der Höhe 10 km. Ein zweites
> Flugzeug befindet sich um 8.00 bei den Koordinaten
> (800,100) in gleicher Höhe und fliegt mit Geschwindikeit
> v2=900km/h in Richtung (-500,-1200). Besteht die Gefahr
> einer Kollision? Lösen Sie zuerst zeichnerisch! (Alle
> Koordinatenangaben in der Eiheit 100 Kilometer
> Hi!
>
> ich geb Nachhilfe und gestern ist einer der Schüler mit
> dieser Aufgabe gekommen.Ehrlich gesagt hab ich keine
> Ahnung. Ich kenn zwar bewegungsaufgaben und auch
> Vektorrechnung aber in kombination wüsst ich nicht was ich
> da machen soll.Hab ihn am Montag nochmal und gesagt ich
> löse die Aufgaben bis dahin. Aber auch auf den zweiten
> Blick weis ich nicht weiter.
>
> Hoffe es kann mir wer helfen.
Hallo,
du könntest der Reihe nach folgendes ermitteln:
1) Wo kreuzen sich die Bahnen (das ist von Zeit und Geschwindigkeit unabhängig).
2) Wie weit ist es bis dorthin für das erste Flugzeug? Wie lange braucht es mit seiner Geschwindigkeit für diese Strecke? Wann (Anfangszeit beachten) wird es dort ankommen?
3) Wird das zweite Flugzeug zur gleichen Zeit am Kreuzungspunkt der Bahnen sein wie das erste?
Gruß Abakus
>
> lg ely
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Sa 05.12.2009 | | Autor: | ely |
ok werd ich probieren.
aber was hat es mit den vektoren auf sich? er hat im moment nämlich grad das thema vektoren und vektorrechnung.
lg ely
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Sa 05.12.2009 | | Autor: | ely |
hab jetzt die geraden aufgestellt:
für das erste Flugzeug:
[mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{2 \\ -1}+t\vektor{1 \\ 3}
[/mm]
der des zweiten:
[mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{8 \\ 1}+s\vektor{-1 \\ -1}
[/mm]
der schnittpunkt ist [mm] \vektor{-1,5 \\ -4,5}
[/mm]
das müsste doch noch stimmen oder?
lg ely
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:17 Sa 05.12.2009 | | Autor: | ely |
Hallo nochmal!
ich hab die Aufgabe gelöst
Nur der Korrektheithalber: Die Lösung die ich oben geschrieben habe auf die bin ich gekommen. Links das zweite Flugzeug Rechts das erste.
Die Punkte die dort stehen sind die die die Flugzeuge um 9:00 einnehmen.
Wenn ich jetzt die Gleichung mit den selben Parametern auf beiden Seiten löse, musste doch für diesen Parameter das selbe rauskommen (wenn mans aufspaltet und ausrechnet die x und y "Koodinate"), oder? In meinem Fall kommt nicht das selbe raus aber das soll es auch nicht.
Stimmt diese Überlegung?
Danke für die Hilfe bis jetzt!
lg ely
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:25 Sa 05.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo ely,
ich verstehe Deinen Ansatz (auch wenn er noch falsch ist, dazu gleich mehr), aber diese Rückfrage verstehe ich nicht.
> ich hab die Aufgabe gelöst
> Nur der Korrektheithalber: Die Lösung die ich oben
> geschrieben habe auf die bin ich gekommen. Links das zweite
> Flugzeug Rechts das erste.
Wo "oben"? In der letzten Frage? Worauf bezieht sich "links" und "rechts"? Die Geraden sind doch untereinander aufgeschrieben.
> Die Punkte die dort stehen sind die die die Flugzeuge um
> 9:00 einnehmen.
Auf welchen Post beziehst Du Dich? Ich finden keinen, auf den das passt, außer im ersten Teil des Strangs, aber da hattest Du doch aus der Musterlösung zitiert, oder?
> Wenn ich jetzt die Gleichung mit den selben Parametern auf
> beiden Seiten löse, musste doch für diesen Parameter das
> selbe rauskommen (wenn mans aufspaltet und ausrechnet die x
> und y "Koodinate"), oder? In meinem Fall kommt nicht das
> selbe raus aber das soll es auch nicht.
Doch, der Parameter gilt ja für den ganzen Vektor und kann nicht für x und y unterschiedlich sein. Die beiden Parameter aus den beiden Geradengleichungen können unterschiedlich sein, aber dann sind die Geradengleichungen nicht geschickt angesetzt.
> Stimmt diese Überlegung?
>
> Danke für die Hilfe bis jetzt!
>
> lg ely
lg
reverend
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Hallo ely,
davon stimmt fast nichts:
> hab jetzt die geraden aufgestellt:
> für das erste Flugzeug:
>
> [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{2 \\ -1}+t\vektor{1 \\ 3}[/mm]
Woher stammt dieser Richtungsvektor? Selbst mit dem Missverständnis, das Du schon beschrieben hast, ist er nicht erklärlich.
> der des zweiten:
>
> [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{8 \\ 1}+s\vektor{-1 \\ -1}[/mm]
dito.
> der schnittpunkt ist [mm]\vektor{-1,5 \\ -4,5}[/mm]
>
> das müsste doch noch stimmen oder?
Nein, das stimmt auch nicht. Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden ist [mm] \vektor{0\\-7}.
[/mm]
***
Ich fange mal von vorn an. Das meiste liegt hier schon darin, einen geschickten Ansatz zu finden.
Die Geradengleichungen sollen möglichst so aufgestellt sein, dass sie die Position der Flugzeuge zu einer bestimmten Zeit angeben können und also sowohl Zeitpunkt als auch Geschwindigkeit der Flugzeuge mit einbeziehen.
Wie in der Musterlösung teile ich sowohl bei den Entfernungen als auch den Geschwindigkeiten die Angaben durch 100.
Flugzeug 1: abakus hat Dir schon vorgerechnet, wie man auf einen passenden Richtungsvektor kommt.
Aus der Aufgabe stammt [mm] \vektor{3\\-4}, [/mm] den man noch auf die Länge 8 skalieren muss, dann hat man [mm] \bruch{8}{5}\vektor{3\\-4}
[/mm]
Die Gerade sei dann [mm] g_1: \vec{x_1}=\vektor{2\\-1}+(s-9)*\bruch{8}{5}\vektor{3\\-4}
[/mm]
Ich habe den Parameter mal so gesetzt, dass er für s=9 gerade den Startpunkt liefert.
Flugzeug 2: Richtungsvektor [mm] \vektor{-5\\-12}, [/mm] auf die Länge 9 gebracht ergibt sich [mm] \bruch{9}{13}\vektor{-5\\-12}
[/mm]
Die Gerade sei dann [mm] g_2: \vec{x_2}=\vektor{8\\1}+(t-8)*\bruch{9}{13}\vektor{-5\\-12}
[/mm]
Hier liefert t=8 den Startpunkt.
Nun kann man durch Gleichsetzen der beiden Gleichungen den Schnittpunkt der beiden Geraden berechnen.
Er liegt bei [mm] \bruch{1}{28}\vektor{149\\-152}
[/mm]
Der Kern der Aufgabe ist aber die Frage, ob eine Kollisionsgefahr besteht. Wenn der Schnittpunkt in den beiden Geradengleichungen so dargestellt wird, dass s=t ist, kommt es zur Kollision. Du hättest dann auch gleich die Uhrzeit, musst nur noch auf Minuten und Sekunden umrechnen, weil die Parameter ja stundenweise zählen.
> lg ely
Du kannst Dir mit dem Rechnen Zeit lassen, die Fluggäste sind nicht gefährdet.
Wären aber alle Angaben gleich, außer dass die angegebene Position des 2. Flugzeugs erst um 8.55 Uhr wahr wäre, dann müssten wir mehr über die Messgenauigkeiten wissen, und über die Größe der Flugzeuge.
lg
reverend
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