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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Mi 29.06.2005 | | Autor: | annaL |
Hallo!
Also ich habe nun auch den zweiten BEweis aus dem Königsberger durchgearbeitet und bitte um Korektur! DANKE!!
Zu zeigen :
inf(-A) = - sup(A), ( -x [mm] \varepsilon [/mm] R / x [mm] \varepsilon [/mm] A ) --> nach Multiplikation mit -1 : x [mm] \varepsilon [/mm] - R / -x [mm] \varepsilon [/mm] -A .
Nun konsturiere ich mir ein Infimum i von ( -A ) :
i = Infimum ( - A ) , s = -i
Dann gilt :
-x [mm] \ge [/mm] i ( Eigneschaft des Infimums für das stets gilt : x [mm] \ge [/mm] s )
--> x [mm] \le [/mm] -i bzw. x [mm] \le [/mm] s
--> s ist eine obere Schranke für A!!!
Nun konsturiere ich eine weitere Schranke c für A . Zu zeigen ist nun :
s [mm] \le [/mm] c .
Nach Voraussetzung gilt :
c [mm] \ge [/mm] x / x [mm] \le [/mm] c für alle x [mm] \varepsilon [/mm] A ! Die Multiplikation mit -1 liefert mir dann :
-x [mm] \ge [/mm] -c oder anders ausgedrückt :
-c [mm] \le [/mm] -x . --> -c [mm] \le [/mm] y für alle y element aus A.
..> -c ist eine untere Schranke von - A! Nun ist aber i die größte untere Schranke von - A!
Daher gilt :
i [mm] \ge [/mm] - c.
So weiter komme ich leider nicht :( ich weiß nicht wie ich dann am ende auf die ursprüngliche Aussage komme, die ich zu beweisen habe :(
Bitte um Hilfe! DANKE!!!!!!!!
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Hallo annaL!
z.Z: inf(-A) = -sup(A).
Sei s = sup(A), dann gilt [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A: x [mm] \le [/mm] s (*).
(i) Wir zeigen das -s untere Schranke von -A ist:
Multipliziere (*) mit (-1): -x [mm] \ge [/mm] -s. Wir setzen i := -s.
x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] -x [mm] \in [/mm] -A. Dann gilt [mm] \forall [/mm] -x [mm] \in [/mm] A: -x [mm] \ge [/mm] -s = i (**). Also ist i eine untere Schranke von -A.
(ii) Noch zu zeigen, dass i die grösste untere Schranke von -A ist, also das Infimum von -A.
Nun, nehmen wir an, c sei eine andere untere Schranke von -A. So gilt (**) [mm] \forall [/mm] -x [mm] \in [/mm] -A: -x [mm] \ge [/mm] c. Mit (-1) multiplizieren [mm] \Rightarrow \forall [/mm] -x [mm] \in [/mm] -A: x [mm] \le [/mm] -c, d.h [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A: x [mm] \le [/mm] -c, also ist -c eine obere Schranke von A, und daraus folgt: -c [mm] \ge [/mm] s (***), da s die kleinste obere Schranke von A ist. Multipliziere (***) mit (-1), so folgt: c [mm] \le [/mm] -s = i, also ist i=-s das grösste untere Schranke von -A, also inf(-A), was wir in (ii) zeigen wollten.
inf(-A)= i = -s und s = sup(A) [mm] \Rightarrow [/mm] inf(-A) = -sup(A) [mm] \Box
[/mm]
gruss,
logarithmus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mi 29.06.2005 | | Autor: | annaL |
kann ich es auch so machen wie ich es gemacht habe? stimmt mein beweis bis dorthin? das wäre ja das wichtigste für mich gewesen :)
trotzdem danke für deine mühe. aber eine frage habe ich zu deiner lösung noch :
müsste es in der vierten zeile nicht heißen :
dann gilt für alle - x element aus - A?? Du hast geschrieben es gilt für alle -x element aus A!??? Stimmt das so? Meiner Meinung nach fehlt dort ein minus vor dem A ! ODER???
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Hi,
tatsächlich es fehlt da ein minus. Das Problem bei dem Beweis ist, dass man mal die Menge A und mal die verschiedenen Ungleichungen mit minus multiplizieren muss, was die ganze Sache umständlich macht.
Es schien mir einfacher den Beweis in zwei Teile zu führen, deswegen habe ich an deinem Beweis nicht gearbeitet. Ich hoffe, dass du dadurch deinen Beweis ergänzen bzw. vervollständigen kannst.
gruss,
logarithmus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Mi 29.06.2005 | | Autor: | annaL |
gut :) ja nein so viel hat mir bei dem beweis ja nicht mehr gefehlt. mir ging es nur einmal darum dass mal einer korrektur liest ob er bis dahin richtig ist?
ist er das???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Do 30.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo annaL!
Ich habe dir deine Lösung oben korrigiert. 
Viele Grüße
Julius
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, die Zeile ist schlicht falsch.
