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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Di 24.01.2012 | | Autor: | Phnix |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: [mm] n!>2^n^-^1 [/mm] für alle n [mm] \varepsilon [/mm] N mit n [mm] \ge [/mm] 3 |
N'abend folgendes Problem beschäftigt mich.
Mein Ansatz:
Anfang n=3
[mm] 6>2^2 [/mm] stimmt.
n+1
[mm] (n+1)!>2^n^-^1^+^1 [/mm]
So und nun steh ich auf dem Schlauch, wie kann ich weiter vorgehen?
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Hiho,
zerlege die Fakültät in den "vorausgesetzten" Teil und einem Faktor.
Nutze für den vorausgesetzten Teil die Induktionsvoraussetzung und für den Faktor, dass er (offensichtlich) grösser als 2 ist.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Di 24.01.2012 | | Autor: | Phnix |
mhm hilft mir auch nicht weiter, probiere das mal das was ich verstanden habe anzuwenden:
[mm] n!+(n+1)>2^n^-^1^+^1
[/mm]
Meintest du sowas? was nu?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Di 24.01.2012 | | Autor: | Jule2 |
> mhm hilft mir auch nicht weiter, probiere das mal das was
> ich verstanden habe anzuwenden:
>
> [mm]n!+(n+1)>2^n^-^1^+^1[/mm]
Das kann nicht stimmen bei Fakultät wird nix addiert sondern multipliziert
Also ich glaub eher [mm]n!*(n+1)>2^n^-^1*2[/mm]
Und diese Abschätzung gilt natürlich da [mm] n\ge3 [/mm] vorausgesetzt wurde
Sry sollte eigentlich ne Antwort sein keine Mitteilung
> Meintest du sowas? was nu?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Di 24.01.2012 | | Autor: | Phnix |
[mm]n!*(n+1)>2^n^-^1*2[/mm]
wieso *2 rechts? Was nu?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Di 24.01.2012 | | Autor: | Jule2 |
> [mm]n!*(n+1)>2^n^-^1*2[/mm]
>
> wieso *2 rechts? Was nu?
Weil [mm] 2^n^-^1*2 [/mm] das selbe ist wie [mm] 2^n^-^1^+^1 [/mm] oder auch [mm] 2^n
[/mm]
Nun hast du für [mm] n!*>2^n^-^1 [/mm] ja schon gezeigt dass es größer ist also schaust dir halt an was passiert mit der Abschätzung (n+1)>2 für [mm] n\ge3
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Di 24.01.2012 | | Autor: | Phnix |
n+1>2 Diese haut für n>gleich3 immer hin.
Das soll mir jetzt sagen?
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Hallöchen,
dass soll dir jetzt sagen das du deinen Induktionsschritt bewiesen hast, weil deine Aussage [mm] (n+1)!>2^{n-1+1} [/mm] für alle n gilt wie du gerade selbst erklärt hast. Somit hast du deine Aussage bereits für alle n gezeigt. Was fehlt dir denn noch?
LG Schmetterfee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Di 24.01.2012 | | Autor: | Phnix |
das kam mir so knall hart vor.
also fasse ich zusammen und bitte ochmal das es jemand bestätigt.
[mm] n!>2^n^-^1
[/mm]
für n=3
3*2*1 [mm] >2^3^-^1 \Rightarrow [/mm] 6>4 das passt
n+1
[mm] n!*(n+1)>2*n^n^-^1 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] n+1>2 für [mm] n\ge [/mm] 3
Also dies war nun eine vollständige Induktion.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Di 24.01.2012 | | Autor: | Jule2 |
> das kam mir so knall hart vor.
>
> also fasse ich zusammen und bitte ochmal das es jemand
> bestätigt.
>
> [mm]n!>2^n^-^1[/mm]
>
> für n=3
> 3*2*1 [mm]>2^3^-^1 \Rightarrow[/mm] 6>4 das
> passt
>
> n+1
>
> [mm]n!*(n+1)>2*n^n^-^1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] n+1>2 für [mm]n\ge[/mm] 3
Ich würde hier keinen daraus folgt Schluss ziehen sondern sagen:
da n+1>2 für [mm] n\ge3 [/mm] immer erfüllt ist und
[mm] n!>2^n^-^1 [/mm] gilt folgt
daraus dass [mm] n!*(n+1)>2*n^n^-^1 [/mm] für alle [mm] n\ge3 [/mm] gilt!
Ansonsten siehts gut aus!
> Also dies war nun eine vollständige Induktion.
>
> Danke
>
>
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