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| Aufgabe | Zeigen Sie, daß keine rationale Zahl d [mm] \in \IQ [/mm] existiert, für die gilt
[mm] d^2 [/mm] = 3 .
Hinweis: Verwenden Sie, daß für alle p [mm] \in \IZ [/mm] eindeutig m [mm] \in \IZ [/mm] und q [mm] \in [/mm] {0, 1, 2} existieren, so daß p = 3m + q. |
[mm] \IQ [/mm] ist ja die menge der brüche,das heißt [mm] \bruch{x \in \IZ}{y \in \IZ}.......also [/mm] : [mm] \bruch{3m+q}{m} [/mm] = [mm] \bruch{3m}{3m+q} [/mm] ....und was sagt uns das?? [mm] \bruch{3}{d}=d [/mm] bringt auch nicht viel....was ist DAS für ´ne Aufgabe? (In keinem anderen Forum)
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Hallo MatheFrager,
> Zeigen Sie, daß keine rationale Zahl d [mm]\in \IQ[/mm] existiert,
> für die gilt
> [mm]d^2[/mm] = 3 .
> Hinweis: Verwenden Sie, daß für alle p [mm]\in \IZ[/mm] eindeutig
> m [mm]\in \IZ[/mm] und q [mm]\in[/mm] {0, 1, 2} existieren, so daß p = 3m +
> q.
>
> [mm]\IQ[/mm] ist ja die menge der brüche,das heißt [mm]\bruch{x \in \IZ}{y \in \IZ} [/mm] .......also
> : [mm]\bruch{3m+q}{m}[/mm] = [mm]\bruch{3m}{3m+q}[/mm]
Was will dieser Ansatz? Damit kann ich nun z.B. [mm] q_{1/2}=-3m\pm \wurzel{3}m [/mm] ermitteln. Und dann?
Der Hinweis besagt doch nur, dass jede ganze Zahl bei Teilung durch drei nur einen von drei möglichen Resten lassen kann: 0,1,2.
Setze also [mm] d=\bruch{p}{s} [/mm] mit p=3m+q und s=3t+u und nimm an, dass der Bruch vollständig gekürzt ist. Und dann schau mal, ob Du für die neun möglichen Fälle entweder einzeln oder gruppiert oder für alle zusammen einen Widerspruch zu Deiner Annahme herbeiführen kannst.
Übrigens genügt es, wenn Du positive d untersuchst und Dich also auch auf [mm] m,p,q,s,t,u\in\IN [/mm] beschränkst. Allerdings musst du dann kurz zeigen, warum das genügt.
> ....und was sagt
> uns das?? [mm]\bruch{3}{d}=d[/mm] bringt auch nicht viel....was ist
> DAS für ´ne Aufgabe? (In keinem anderen Forum)
lg
reverend
PS: Einfacher geht das mit dem Fundamentalsatz der Arithmetik, aber den sollt ihr ja offenbar nicht verwenden. Gibt es andere Sätze, auf die ihr zurückgreifen könnt?
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| Aufgabe | Leider weiß ich von keinem Satz den wir verwenden können....jedenfalls danke für deine Hilfe, ich weiß nur nicht wie man das aufschreibt.
Meine Gleichung führt auch nur zu x=wurzel(3)*y,für die einzelnen Fälle sieht es dann noch wirrer aus....
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Geht es vielleicht über Addition?
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Hallo MatheFrager,
was ist denn jetzt? Davon, dass Du die Bearbeitungsdauer auf 30 Tage stellst, löst sich die Aufgabe auch nicht.
Hier mal die wesentlichen Schritte:
sei [mm] d=\bruch{3m+q}{3t+u} [/mm] ein vollständig gekürzter Bruch und [mm] m,t\in\IN, q,u\in\{0,1,2\}
[/mm]
Dann führt [mm] d^2=3 [/mm] auf [mm] 9m^2+6mq+q^2=27t^2+18tu+3u^2 \quad \Rightarrow 3|q^2 \quad \Rightarrow[/mm] [mm]q=0[/mm].
Eingesetzt folgt [mm] 3m^2=9t^2+6tu+u^2 \quad \Rightarrow 3|u^2 \quad \Rightarrow [/mm] u=0
[mm] \Rightarrow d=\bruch{3m}{3t}
[/mm]
So, fertig. Du musst nur noch die Rechenschritte einfügen und herausfinden, warum die Aufgabe damit abgeschlossen ist. Ach ja, und die Beschränkung der Rechnung auf natürliche m,t musst Du auch noch begründen.
Bevor Du jetzt zum dritten Mal eine Rechnung mit [mm] \wurzel{3} [/mm] präsentierst, überleg erst noch mal, was die Aufgabe eigentlich von Dir will.
Die Einführung von q (und bei mir auch u) ist nur ein Hilfsmittel, um auf den schon angeführten Fundamentalsatz verzichten zu können.
lg
reverend
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