beweis konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 So 28.12.2008 | | Autor: | relation |
| Aufgabe | | Zeige: Falls die Reihe [mm] \summe |a_n-a_{n+1}| [/mm] konvergiert, so auch die Folge [mm] (a_n). [/mm] |
hallo,
der ausdruck [mm] |a_n-a_{n+1}| [/mm] erinnert mich an cauchy-folgen, aber oben handelt es sich ja um eine reihe...in welche richtung sollte ich denken?
wäre dankbar für einen verständlichen ansatz....
besten dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 So 28.12.2008 | | Autor: | zetamy |
> Zeige: Falls die Reihe [mm]\summe |a_n-a_{n+1}|[/mm] konvergiert, so
> auch die Folge [mm](a_n).[/mm]
> hallo,
>
> der ausdruck [mm]|a_n-a_{n+1}|[/mm] erinnert mich an cauchy-folgen,
> aber oben handelt es sich ja um eine reihe...in welche
> richtung sollte ich denken?
> wäre dankbar für einen verständlichen ansatz....
>
> besten dank!
Hallo,
falls [mm] $\sum_{n=0}^{\infty} |a_n-a_{n+1}|$ [/mm] konvergiert, dann ist die Folge [mm] $(b_n):=(a_n-a_{n+1})$ [/mm] eine Nullfolge, dh. [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty} b_n=\lim_{n\rightarrow\infty} (a_n-a_{n+1})=0$.
[/mm]
Damit sollte die Lösung kein Problem mehr sein.
Gruß, zetamy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 So 28.12.2008 | | Autor: | relation |
stimmt, das weiß ich auch! aber ich steh gerade auf dem schlauch- wie kann ich denn aus [mm] (a_n-a_{n+1})\to [/mm] 0 folgern, dass [mm] a_n [/mm] kvg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 So 28.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
> stimmt, das weiß ich auch! aber ich steh gerade auf dem
> schlauch- wie kann ich denn aus [mm](a_n-a_{n+1})\to[/mm] 0 folgern,
> dass [mm]a_n[/mm] kvg?
Da müsste dir eigentlich die Cauchyfolge, auch bekannt als Cauchy'sches Konvergenzkriterium für Folgen weiterhelfen. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 So 28.12.2008 | | Autor: | relation |
das cauchy-kriterium habe ich wohl nicht richtig verstanden...hier also zunächst meine definition dafür:
[mm] \summe a_n [/mm] kvg. [mm] \gdw [/mm] f.a. [mm] \varepsilon>0 |\summe_{i=0}^{k}a_{n+i}|< \varepsilon [/mm] f.a. [mm] n\ge n_0 [/mm] und [mm] k\ge [/mm] 0
heißt dass, hier wird wieder der abstand zwischen den einzelnen partialsummen ab einem bestimmten [mm] n_0 [/mm] betrachtet? und wenn der kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] ist, dann kvg die reihe?
aber nur aus dem fakt, dass ich eine cauchyfolge vor mir habe, kann ich noch nich schließen, dass diese auch kvg, oder?
und wie wende ich dies nun an?
gruß und danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 So 28.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> das cauchy-kriterium habe ich wohl nicht richtig
> verstanden...hier also zunächst meine definition dafür:
>
> [mm]\summe a_n[/mm] kvg. [mm]\gdw[/mm] f.a. [mm]\varepsilon>0 |\summe_{i=0}^{k}a_{n+i}|< \varepsilon[/mm]
> f.a. [mm]n\ge n_0[/mm] und [mm]k\ge[/mm] 0
Also ich merke es mir so:
[mm] $|\sum_{k=n}^ma_k|<\varepsilon$ [/mm] für [mm] $n,m>N(\varepsilon)$
[/mm]
> heißt dass, hier wird wieder der abstand zwischen den
> einzelnen partialsummen ab einem bestimmten [mm]n_0[/mm] betrachtet?
Ja.
> und wenn der kleiner als [mm]\varepsilon[/mm] ist, dann kvg die
> reihe? aber nur aus dem fakt, dass ich eine cauchyfolge vor mir
> habe, kann ich noch nich schließen, dass diese auch kvg, oder?
Wie ich unten schon geschrieben habe: komplexe Folgen konvergieren genau dann, wenn sie CF sind.
Im Kontext von allgemeinen metrischen Räumen nennt man diese Eigenschaft ("alle CF konvergieren") Vollständigkeit. [mm] $\IQ$ [/mm] ist nicht vollständig, aber [mm] $\IR$ [/mm] und [mm] $\IC$ [/mm] schon.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 So 28.12.2008 | | Autor: | pelzig |
Zeige, dass [mm] $(a_n)$ [/mm] eine Cauchyfolge ist. Beachte, dass nach der Dreiecksungleichung für alle [mm]n
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 So 28.12.2008 | | Autor: | relation |
die rechte seite ist klein, weil sie kleiner [mm] \varepsilon [/mm] ist wegen vor.+cauchy-kriterium, oder?
aber was genau steht in deiner abschätzung bei....? und wo befindet sich darin die folge [mm] (a_n)? [/mm]
folgt nun direkt auch, dass [mm] (a_n) [/mm] eine CF ist? aber daraus kann ich doch nicht schließen, dass [mm] (a_n) [/mm] kvg, es gibt auch nicht-konvergente CF!
tschüss und danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 So 28.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> die rechte seite ist klein, weil sie kleiner [mm]\varepsilon[/mm]
> ist wegen vor.+cauchy-kriterium, oder?
Ja.
> aber was genau steht in deiner abschätzung bei....?
Da wendet man die Dreiecksungleichung ganz oft an.
> und wo befindet sich darin die folge [mm](a_n)?[/mm]
> folgt nun direkt auch, dass [mm](a_n)[/mm] eine CF ist?
Ja.
> aber daraus kann ich doch nicht schließen, dass [mm](a_n)[/mm] kvg, es gibt auch
> nicht-konvergente CF!
Nicht in den reellen/komplexen Zahlen! Da ist konvergent [mm] \gdw [/mm] CF.
Gruß, Robert
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