bijektive Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 So 06.11.2005 | | Autor: | Geddie |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Sei M eine beliebige Menge und 2 ^M := {f: M -> {0,1}} die Menge der Abbildungen von M in die 2-elementige Menge {0,1}
Jetzt soll ich zeigen, dass die Abbildung phi : [mm] 2^M [/mm] --> P(M) mit phi(f) = f^-1 (0) bijektiv ist.
Als Ansatz wurde mir gegeben, dass wenn phi injektiv sein soll man annehmen soll, dass phi(f) = phi(y) ==> f^-1(0) = y^-1(0) ist. Wenn phi surjektiv sein muss, dann sei x [mm] \varepsilon [/mm] P(M), d.h. x [mm] \subseteq [/mm] M [mm] \Rightarrow \exists [/mm] f [mm] \varepsilon 2^M: [/mm] phi(f) = X
Kann mir dabei einer helfen?????
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> Sei M eine beliebige Menge und [mm] 2^M [/mm] := {f: M [mm] \to [/mm] {0,1}} die
> Menge der Abbildungen von M in die 2-elementige Menge
> {0,1}
>
> Jetzt soll ich zeigen, dass die Abbildung [mm] \phi [/mm] : [mm]2^M[/mm] [mm] \to [/mm]
> P(M) mit [mm] \phi(f) [/mm] = f^-1 (0) bijektiv ist.
Hallo,
ich helfe Dir ein bißchen.
Hast Du "injektiv" und "surjektiv" im Prinzip verstanden?
Davon gehe ich zunächst einmal aus.
Es ist hier sicher etwas verwirrend, daß der Definitionsbereich der zu untersuchenden Abbildung [mm] \phi [/mm] eine Menge von Funktionen ist. Normalerweise - also bevor man Mathematik studiert - hat man es beim Definitionsbereich mit einer Menge von Zahlen zu tun.
Was bedeutet injektiv? Zu zwei verschiedenen Argumenten kann nicht derselbe Funktionswert gehören. Oder anders: Funktionswerte gleich ==> Argumente gleich.
(Das ist ja das, was sich hinter f(x)=f(y) ==> x=y verbirgt.)
So, nun zu Deiner Aufgabe. Laß uns [mm] \phi [/mm] auf Injektivität untersuchen.
Seien f,g [mm] \in 2_M [/mm] und sei [mm] \phi(f)= \phi(g) [/mm]
[Weil [mm] \phi: 2_M \to [/mm] P(M), sind meine Argumente f und g Funktionen aus [mm] 2_M.]
[/mm]
==> [mm] f^{-1}(0)= g^{-1}(0) [/mm]
[denn so ist [mm] \phi [/mm] definiert. Was ist [mm] f^{-1}(0)? [/mm] Das Urbild von 0 unter der Abbildung f. Das heißt, all das, was auf 0 abgebildet wird. Für g entsprechend.]
==> {x [mm] \in [/mm] M: f(x)=0 } = {x [mm] \in [/mm] M: g(x)=0 }
[ Das muß man sich jetzt mal auf der Zunge zergehen lassen. Auf deutsch heißt das ja: f und g bilden haargenau dieselben Elemente auf die 0 ab. Deshalb müssen f,g aber noch nicht unbedingt gleich sein. Wann sind zwei Funktionen gleich? Wenn ihre Funktionswerte an jeder Stelle gleich sind.
Wir müssen jetzt also noch über den Teil des Definitionsbereiches nachdenken, welcher nicht auf die Null abgebildet wird. Wohin werden diese Elemente abgebildet? Schauen wir in die Definition von [mm] 2_M: [/mm] die müssen auf die 1 abgebildet werden. Für f und g!]
==> M \ {x [mm] \in [/mm] M: f(x)=0 }= M \ {x [mm] \in [/mm] M: g(x)=0 }
==> nach Def. von [mm] 2_M [/mm] {x [mm] \in [/mm] M: f(x)=1}= {x [mm] \in [/mm] M: g(x)=1 }
Also stimmen f und g an jeder Stelle des Definitionsbereiche M überein.
==> f=g.
Somit ist [mm] \phi [/mm] injektiv.
Ich schlage vor, Du versuchst zunächst, das zu verstehen und nachvollziehen.
Danach könntest Du Dich mal selbst an "surjektiv" versuchen.
Gruß v. Angela
> Als Ansatz wurde mir gegeben, dass wenn phi injektiv sein
> soll man annehmen soll, dass phi(f) = phi(y) ==> f^-1(0) =
> y^-1(0) ist. Wenn phi surjektiv sein muss, dann sei x
> [mm]\varepsilon[/mm] P(M), d.h. x [mm]\subseteq[/mm] M [mm]\Rightarrow \exists[/mm]
> f [mm]\varepsilon 2^M:[/mm] phi(f) = X
>
> Kann mir dabei einer helfen?????
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