bijektive Isometrie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Mo 23.05.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo an alle! 
Ich habe versucht, diese Aufgabe zu lösen. Ich weiß zwar, was ich beweisen soll, aber leider nicht wie.
Aufgabe: [Hier soll [mm] (\overline{M}, \overline{d}) [/mm] ein vollständiger metrischer Raum sein.]
Sei (M,d) ein metrischer Raum und seien [mm] a_{1}: [/mm] (M,d) [mm] \to (\overline{M_{1}}, \overline{d_{1}}), a_{2}: [/mm] (M,d) [mm] \to (\overline{M_{2}}, \overline{d_{2}}) [/mm] Vervollständigungen von (M,d).
Zeige die Existenz einer bijektiven Isometrie [mm] \delta: \overline{M_{1}} \to \overline{M_{2}}mit \delta \circ a_{1} [/mm] = [mm] a_{2}.
[/mm]
Zunächst weiß ich ja, dass ich folgende Aussage beweisen muss, um zu zeigen, dass [mm] \delta [/mm] eine Isometrie ist:
[mm] d_{\overline{M_{2}}} (\delta [/mm] (x), [mm] \delta [/mm] (y)) = [mm] d_{\overline{M_{1}}} [/mm] (x,y) für x,y [mm] \in \overline{M_{1}}.
[/mm]
Und hier liegt mein Problem. Ich weiß nicht, wie ich diese Aussage beweisen soll. Aber ich glaube, dass man hier beide Inklusionen zeigen muss, oder? Wie gehe ich hier vor? Könnt ihr mir bitte zeigen, wie ich beweise, dass eine solche Isometrie existiert?
Also hab ich nun versucht zu zeigen, dass diese Isometrie bijektiv ist. Ich zeige injektiv und surjektiv:
injektiv: Sei [mm] a_{2}(x) [/mm] = [mm] \delta (a_{1}(x)) [/mm] und [mm] a_{2}(y) [/mm] = [mm] \delta (a_{1}(y)).
[/mm]
Wenn [mm] a_{2}(x) [/mm] = [mm] a_{2}(y), [/mm] also [mm] \delta (a_{1}(x)) [/mm] = [mm] \delta ((a_{1}(y)), [/mm] so folgt daraus, dass [mm] a_{1}(x)=a_{1}(y) [/mm] gilt.
Hier weiß ich leider auch nicht, wie ich es zeigen soll.
Surjektiv: [mm] \forall m_{2} \overline{M_{2}} \exists m_{1} \in \overline{M_{1}}: \delta (m_{1}) [/mm] = [mm] m_{2}.
[/mm]
Wähle ein [mm] m_{1} [/mm] mit [mm] m_{1} [/mm] = [mm] \delta^{-1} (m_{2}).
[/mm]
Also ist [mm] \delta [/mm] surjektiv.
Ich weiß nicht, ob mein Beweis richtig ist, weil er so komisch ist.
Könnt ihr mir bitte helfen die Aufgabe zu lösen?
Vielen Dank!
VHN
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:00 Mi 25.05.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, Julius!
Danke für den Link! Ich habe nun versucht, mich durch die Antworten durchzuarbeiten, aber ich bin ja auch einige Dinge gestoßen, die ich nicht verstehe.
Ich hoffe, du kannst mir da weiterhelfen.
Erst mal hab ich ganz allgemeine Fragen:
(1) In meiner Aufgabenstellung ist im Gegensatz zur Aufgabenstellung im Link nicht vorausgesetzt, dass mein [mm] \delta [/mm] eine stetige Abbildung ist. In dem Lösungsweg (Link) wurde aber die Stetigkeit oft verwendet, bei mir ist diese Bedingung allerdings nicht gegeben. Macht das einen Unterschied für die Lösung der Aufgabe?
(2) Warum ist eine Abbildung, die isometrisch ist, automatisch injektiv? Das ist mir nicht ganz klar.
Nun habe ich konkretere Fragen zum Lösungsweg (Link). dabei verwende ich die gleichen notationen wie in der Lösung.
(a) In der Lösung taucht ein F auf. Zunächst dachte ich, das sei ein Tippfehler, aber dieses F taucht am Ende des Beweises in der 3. Antwort von Fabi nochmals auf. Was ist dieses F überhaupt?
(b) In der ersten Antwort von Fabi sagt er: "da [mm] i_{1} [/mm] dicht in I (warum I?) liegt, genügt es zu zeigen, dass Groß-Phi und Klein-Phi auf [mm] i_{1} [/mm] (M) übereinstimmen, dann müssen sie aufgrund der Stetigkeit überall übereinstimmen."
Ich verstehe diese Aussage nicht. Wieso müssen die 2 Funktionen nur auf [mm] i_{1} [/mm] (M) übereinstimmen, und nicht auf [mm] i_{2} [/mm] (M)? und wieso genügt es, nur dies zu zeigen aufgrund der bedingung, dass [mm] i_{1} [/mm] dicht in I liegt? Was sagt diese Bedingung denn genau aus?
Dieses "I" soll doch eigentlich [mm] W_{1} [/mm] heißen, oder?
(3) was heißt [mm] "i_{1} [/mm] ist wegen Isometrie injektiv, d.h. man kann [mm] i_{1} [/mm] auf [mm] i_{1} [/mm] (M) umkehren durch eine Umkehrabbildung h."? was bedeutet auf [mm] i_{1} [/mm] (M)? Und außerdem ex. die Umkehrabbildung doch nur, wenn [mm] i_{1} [/mm] bijektiv ist, oder? die bedingung, dass sie injektiv ist, reicht doch nicht, oder?
Dann habe ich eine Frage, ob ich es richtig verstanden habe, mit dem Beweis der Stetigkeit von Groß-Phi:
Es gilt doch: Groß-phi = [mm] i_{2} \circ [/mm] h.
Also gilt wegen der Isometrie von h: d(h(a),h(b)) = [mm] d_{1}(a,b)
[/mm]
Wegen der Isometrie von [mm] i_{2} [/mm] gilt:
[mm] d_{2}(i_{2}(h(a)),i_{2}(h(b))) [/mm] = d(h(a),h(b)) = [mm] d_{2}(Groß-phi(a),Groß-phi(b))
[/mm]
Also: [mm] d_{2}(Groß-phi(a),Groß-phi(b)) [/mm] = [mm] d_{1}(a,b)
[/mm]
Stimmt das so?
Soweit zu meinen Fragen. Ich habe mich dabei auf den Lösungsweg im Link bezogen.
Der Lösungsweg ist teils sehr verständlich, aber leider teils auch sehr verwirrend und durcheinander. Geht er nicht u.U. ein bisschen einfacher und kompakter?
Vielen Dank für deine Mühe!
VHN
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