bijektive holomorphe Abbildung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:34 Mo 30.05.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Seien $D = [mm] \{z \in \mathbb{C} : Re(z) > 0; Im(z) > 0\}$ [/mm] und $B = [mm] \{z \in \mathbb{C} : \abs(z) < 1\}$ [/mm] die
Einheitskreisscheibe. Bestimme eine bijektive holomorphe Abbildung $f : D [mm] \to [/mm] B$
deren Umkehrabbildung auch holomorph ist. |
Ich wollte das mit der Möbiustransformation Lösen
Denn für $w = (z-i)/(z+i) <=> [mm] g(z)=\begin{pmatrix}
1 & -i \\
1 & i
\end{pmatrix} [/mm] , laut Vorlesung Bildet das genau auf dem Einheitskreis, und det(g(z))= 2i != 0,also Bijektiv.
Wenn ich auf dem richtigen Weg bin, wie bestimme ich die Umkehrabbildung
Mir fehlt gerade ein, dass es sich hier um die den Einheitskreis = 1 handelt.
Die Bilder müssen für das Innere des Einheitskreises gelten, also <1,
Brauche Hilfe dringend , morgen ist Zettelabgabe :)
Viele Grüße
Nadia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Mo 30.05.2011 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Seien [mm]D = \{z \in \mathbb{C} : Re(z) > 0; Im(z) > 0\}[/mm] und
> [mm]B = \{z \in \mathbb{C} : \abs(z) < 1\}[/mm] die
> Einheitskreisscheibe. Bestimme eine bijektive holomorphe
> Abbildung [mm]f : D \to B[/mm]
> deren Umkehrabbildung auch holomorph
> ist.
> Ich wollte das mit der Möbiustransformation Lösen
>
> Denn für $w = (z-i)/(z+i) <=> [mm]g(z)=\begin{pmatrix}
1 & -i \\
1 & i
\end{pmatrix}[/mm] , laut Vorlesung Bildet
> das genau auf dem Einheitskreis, und det(g(z))= 2i !=
> 0,also Bijektiv.
Ja die Cayley Abbildung bildet aber die obere Halbebene auf den Einheitskreis ab. Du suchst aber eine biholomorphe Abbildung vom ersten Qudranten D nach B.
Du brauchst also noch eine Biholomorphe Abbildung [mm]D\to H[/mm], wobei H die obere Halbebene ist. Diese Abbildung kannst du dann mit der Cayley-Abbildung verknüpfen, und hast deinen Biholomorphismus [mm]D\to B[/mm].
> Wenn ich auf dem richtigen Weg bin, wie bestimme ich die
> Umkehrabbildung
> Mir fehlt gerade ein, dass es sich hier um die den
> Einheitskreis = 1 handelt.
> Die Bilder müssen für das Innere des Einheitskreises
> gelten, also <1,
>
> Brauche Hilfe dringend , morgen ist Zettelabgabe :)
Am besten du fängst nächstes mal etwas eher an ;).
>
> Viele Grüße
>
Grüße,
Berieux
> Nadia
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 Di 31.05.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Vielen Dank für nette Erklärung
Wie finde ich so eine Abbildung, ich glaube ich denke gerade zu kompliziert, kannst du mir auf die Sprunge Helfen ?
Außerdem verstehe ich nicht, was mit (ersten Qudranten D nach B) gemeint wird,eine Erklärung, wäre wirklich nicht schlecht.
Viele Grüße
Nadia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:06 Di 31.05.2011 | | Autor: | Berieux |
> Vielen Dank für nette Erklärung
>
> Wie finde ich so eine Abbildung, ich glaube ich denke
> gerade zu kompliziert, kannst du mir auf die Sprunge Helfen
> ?
Probiers mit [mm]z\mapsto z^2 [/mm].
>
> Viele Grüße
>
> Nadia
Grüße,
Berieux
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Di 31.05.2011 | | Autor: | Nadia.. |
ja ok
mit $f: [mm] z\mapsto z^2 [/mm] $
würde gof = t $ [mm] g(z)=\begin{pmatrix} 1 & -i \\ 1 & i \end{pmatrix}(z^2,1) [/mm] =
[mm] \frac{z^2-i}{z^2+i} [/mm] $
Ich habe eine Vermutung, dass die Möbius Transformation so aussehen soll
[mm] $g(z)=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & i \end{pmatrix}$
[/mm]
und
$f: [mm] z\mapsto [/mm] |z|$
dann wäre
$gof [mm] =\frac{|z|}{|z|+1}$ [/mm] ist doch das kreisinnere ,oder?
Viele Grüße
Nadia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Di 31.05.2011 | | Autor: | Berieux |
> ja ok
> mit [mm]f: z\mapsto z^2[/mm]
> würde gof = t $ [mm]g(z)=\begin{pmatrix} 1 & -i \\ 1 & i \end{pmatrix}(z^2,1)[/mm]
> =
> [mm]\frac{z^2-i}{z^2+i}[/mm] $
>
> Ich habe eine Vermutung, dass die Möbius Transformation so
> aussehen soll
>
> [mm]g(z)=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & i \end{pmatrix}[/mm]
> und
> [mm]f: z\mapsto |z|[/mm]
> dann wäre
> [mm]gof =\frac{|z|}{|z|+1}[/mm] ist doch das kreisinnere ,oder?
>
Ich versteh nicht was du hier machst. [mm] z\mapsto |z|[/mm] ist nicht holomorph, und bijektiv schon gar nicht.
Die Cayley Abbildung bildet H biholomorph auf die Kreisscheibe B ab, das hattet ihr in der Vorlesung. Du musst nur zeigen, dass [mm] z\mapsto z^2 [/mm] eine biholomorphe Abbildung von D nach H ist. Dann ist [mm]z\mapsto \frac{z^2-i}{z^2+i}[/mm] die biholomorphe Abbildung [mm][mm] D\to [/mm] B\[mm] die du suchst.
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> Viele Grüße
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> Nadia
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:41 Di 31.05.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Danke danke danke ....danke :)
So ich möchte jetzt Zeigen, dass f Biho ist,
dazu Zeige ich, dass f holo und Injektiv ist.
Zu holomorphie, naja aus Komposition zweier stetigen Funktionen ist z*z = [mm] z^2 [/mm] holomorph.
Injektiv ist eigentlich klar,bin mir aber nicht sicher ob ich das so zeigen kann .
sei $ [mm] z_1,z_2 \in [/mm] C $, mit [mm] $z_1= [/mm] x+ iy, [mm] z_2 [/mm] = u + iv => [mm] z_1^2= x^2-y^2+ [/mm] 2ixy
[mm] z_2 [/mm] = [mm] u^2-v^2+ [/mm] 2iuv.$
f ist Injektiv genau dann , wenn [mm] $f(z_1)= f(z_2) \iff x^2-y^2+ [/mm] 2ixy= [mm] u^2-v^2+ [/mm] 2iuv [mm] \iff z_1=z_2 \iff [/mm] x=u,y=v$.
Was soll ich da Zeigen, es ist klar:(
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:02 Di 31.05.2011 | | Autor: | Berieux |
> Danke danke danke ....danke :)
>
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> So ich möchte jetzt Zeigen, dass f Biho ist,
>
> dazu Zeige ich, dass f holo und Injektiv ist.
Ist die Surjektivität denn klar? Außerdem musst du zeigen, dass f(D) auch wirklich in H liegt.
>
> Zu holomorphie, naja aus Komposition zweier stetigen
> Funktionen ist z*z = [mm]z^2[/mm] holomorph.
> Injektiv ist eigentlich klar,bin mir aber nicht sicher ob
> ich das so zeigen kann .
>
> sei $ [mm]z_1,z_2 \in[/mm] C $, mit [mm]$z_1=[/mm] x+ iy, [mm]z_2[/mm] = u + iv =>
> [mm]z_1^2= x^2-y^2+[/mm] 2ixy
> [mm]z_2[/mm] = [mm]u^2-v^2+[/mm] 2iuv.$
> f ist Injektiv genau dann , wenn [mm]f(z_1)= f(z_2) \iff x^2-y^2+ 2ixy= u^2-v^2+ 2iuv \iff z_1=z_2 \iff x=u,y=v[/mm].
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> Was soll ich da Zeigen, es ist klar:(
Nun, so klar ist das nicht. Die Abbildung [mm] z\mapsto z^{2}[/mm] als Abbildung auf ganz [mm]\IC [/mm] ist natürlich nicht injektiv. Es gibt verschiedene Möglichkeiten zu zeigen, dass die Einschränkung auf D aber injektiv ist.
Die elementarste ist es einfach oben Imaginär- und Realteil getrennt zu betrachten. Du erhälst dann 2 Gleichungen und kannst so Beziehungen zwischen x und u bzw y und v herleiten.
Du wirst sehen dass es zwei Lösungen gibt ( dasfolgt auch sofort aus dem Fundamentalsatz der Algebra). Davon liegt aber bloß eine in D.
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> Viele Grüße
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