bijektivität zeigen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien A, B zwei Mengen, und f: A-->B eine Abbildung. Definiere C:= {(a,b) element A x B, f(a)=b}. es gibt zwei natürliche Abb. g: C--> A, g(a,b)=a. Zeigen sie dass g bijektiv ist.
die andere abb. ist hierfür nicht wichtig. |
zunächst einmal habe ich mir überlegt ich muss zeigen, dass g sowohl injektiv als auch surjektiv ist -->bijektiv!?
dann hab ich mir überlegt ich nehme ein element aus C, bilde es auf A ab und gucke dann ob das injektiv, bzw. bijektiv ist.
ich hab mir dann Ax(kreuz)B mal aufgeschrieben:
AxB={ [mm] a_1b_1 [/mm] , [mm] a_1b_1 [/mm] ,..., [mm] a_1b_m
[/mm]
[mm] a_2b_1
[/mm]
......
[mm] a_nb_1,......................a_nb_m}
[/mm]
aber dann weiß ich nicht weiter was ich machen soll.
vielleicht is ja da irgendwas richtig :-(
würde mich sehr über hilfe freuen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Di 14.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Für die Injektivität mußt Du zeigen:
aus [mm] (a_1,b_1), (a_2,b_2) \in [/mm] C und [mm] g(a_1,b_1) [/mm] = [mm] g(a_2,b_2) [/mm] folgt [mm] a_1 [/mm] = [mm] a_2.
[/mm]
Das ist aber leicht, wenn Du Dir die Def. von g anschaust.
Für die Surjektivität mußt Du zeigen:
Zu jedem [mm] a\in [/mm] A gibt es ein x [mm] \in [/mm] C mit g(x) = a. Welche Paar x [mm] \in [/mm] C leistet wohl das Gewünschte ?
FRED
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Erstmal Danke für diene Hilfe.
Ich hab jetzt folgendes gemacht:
Du hast gesagt:
Für die Injektivität mußt Du zeigen:
aus $ [mm] (a_1,b_1), (a_2,b_2) \in [/mm] $ C und $ [mm] g(a_1,b_1) [/mm] $ = $ [mm] g(a_2,b_2) [/mm] $ folgt $ [mm] a_1 [/mm] $ = $ [mm] a_2. [/mm] $
Also laut def. gilt [mm] g(a_1 [/mm] , [mm] b_1)=a_1 [/mm] und [mm] g(a_2 [/mm] , [mm] b_2)=a_2
[/mm]
somit gilt nach den vorraussetzungen [mm] a_1=a_2 [/mm] --> injektiv
um die surjektivität zu zeigen muss ich jetzt ein päarchen(schreibt man das so?) aus C nehmen: (a,b) es in g(x) einsetzen und erhalte g(a,b)=a
--> surjektiv
aus allem zusammen folgt Bijektiv
is das so richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:27 Mi 15.10.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Christian,
> Für die Injektivität mußt Du zeigen:
>
> aus [mm](a_1,b_1), (a_2,b_2) \in[/mm] C und [mm]g(a_1,b_1)[/mm] = [mm]g(a_2,b_2)[/mm]
> folgt [mm]a_1[/mm] = [mm]a_2.[/mm]
Genau genommen mußt du zeigen:
[mm] $(a_1,b_1), (a_2,b_2) \in [/mm] C$ und [mm] $g(a_1,b_1) [/mm] = [mm] g(a_2,b_2) \Longrightarrow (a_1, b_1) [/mm] = [mm] (a_2, b_2).$
[/mm]
> Also laut def. gilt [mm]g(a_1[/mm] , [mm]b_1)=a_1[/mm] und [mm]g(a_2[/mm] , [mm]b_2)=a_2[/mm]
> somit gilt nach den vorraussetzungen [mm]a_1=a_2[/mm] -->
und wegen [mm] $(a_1,b_1), (a_2,b_2) \in [/mm] C$ gilt ja gemäß Definition von $C$ auch [mm] $f(a_1) [/mm] = [mm] b_1$ [/mm] und [mm] $f(a_2) [/mm] = [mm] b_2$.
[/mm]
Da [mm] $a_1 [/mm] = [mm] a_2$ [/mm] ist dann natürlich auch [mm] $b_1 [/mm] = [mm] b_2$ [/mm] und die Injektivität ist gezeigt.
> um die surjektivität zu zeigen muss ich jetzt ein
> päarchen(schreibt man das so?) aus C nehmen: (a,b) es in
> g(x) einsetzen und erhalte g(a,b)=a
> --> surjektiv
das überzeugt mich noch nicht ganz.
Du mußt dir ein beliebiges $a [mm] \in [/mm] A$ vorgeben und zeigen, daß es dazu ein $(x, y) [mm] \in [/mm] C$ gibt, mit $g((x,y)) = a$.
Setze dazu einfach $x = a$. Da f eine Funktion mit Definitionsmenge A ist, gibt es dann $y = f(x) [mm] \in [/mm] B$ und nach Definition von $C$ ist $(x,y) [mm] \in [/mm] C$ mit $g((x,y)) = a$.
> aus allem zusammen folgt Bijektiv
> is das so richtig?
dann ja. 
LG
Will
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