bild lin. abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geben Sie an, wie die (alle) [mm] 2$\times2-Matrizen$ [/mm] $A$ mit Koeffizienten
in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] aussehen, sodass das Bild von [mm] $l_{A}$ [/mm] (also die
lineare Abbildung, die durch $A$ beschrieben wird) die Diagonale
[mm] $\{(r,r)|r\in\mathbb{R}\}$ ist.\\ [/mm] |
Ich weiß leider kaum, wie ich drauf kommen soll. Wenn ich die Matrix
hernehme und mit irgendeinem Vektor in [mm] $\mathbb{R}^{2}$ [/mm] multipliziere
soll irgendwie $(r,r)$ rauskommen. Ich probiere rum, bekomme aber
keinen Ansatz, weil das doch auch davon abhängt, mit was ich $A$
multipliziere, bzw. welchen Vektor ich in die Abbildung reinstecke,
sodass $(r,r)$ das Bild ist.
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> Geben Sie an, wie die (alle) 2[mm]\times2-Matrizen[/mm] [mm]A[/mm] mit
> Koeffizienten
> in [mm]\mathbb{R}[/mm] aussehen, sodass das Bild von [mm]l_{A}[/mm] (also
> die
> lineare Abbildung, die durch [mm]A[/mm] beschrieben wird) die
> Diagonale
> [mm]\{(r,r)|r\in\mathbb{R}\}[/mm] [mm]ist.\\[/mm]
> Ich weiß leider kaum, wie ich drauf kommen soll. Wenn ich
> die Matrix
> hernehme und mit irgendeinem Vektor in [mm]\mathbb{R}^{2}[/mm]
> multipliziere
> soll irgendwie [mm](r,r)[/mm] rauskommen. Ich probiere rum, bekomme
> aber
> keinen Ansatz, weil das doch auch davon abhängt, mit was
> ich [mm]A[/mm]
> multipliziere, bzw. welchen Vektor ich in die Abbildung
> reinstecke,
> sodass [mm](r,r)[/mm] das Bild ist.
Also wollen wir mal systematisch rangehen.
1. Wie sehen alle 2x2 Matrizen aus?
2. Wie sieht das Bild von allen 2x2 Matrizen aus?
3. Was bedeutet es für die Matrix, wenn alle Bildvektoren auf [mm] \IR \vektor{1 \\ 1} [/mm] liegen müssen.
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> > Geben Sie an, wie die (alle) 2[mm]\times2-Matrizen[/mm] [mm]A[/mm] mit
> > Koeffizienten
> > in [mm]\mathbb{R}[/mm] aussehen, sodass das Bild von [mm]l_{A}[/mm] (also
> > die
> > lineare Abbildung, die durch [mm]A[/mm] beschrieben wird) die
> > Diagonale
> > [mm]\{(r,r)|r\in\mathbb{R}\}[/mm] [mm]ist.\\[/mm]
> > Ich weiß leider kaum, wie ich drauf kommen soll. Wenn
> ich
> > die Matrix
> > hernehme und mit irgendeinem Vektor in [mm]\mathbb{R}^{2}[/mm]
> > multipliziere
> > soll irgendwie [mm](r,r)[/mm] rauskommen. Ich probiere rum,
> bekomme
> > aber
> > keinen Ansatz, weil das doch auch davon abhängt, mit
> was
> > ich [mm]A[/mm]
> > multipliziere, bzw. welchen Vektor ich in die Abbildung
> > reinstecke,
> > sodass [mm](r,r)[/mm] das Bild ist.
>
> Also wollen wir mal systematisch rangehen.
> 1. Wie sehen alle 2x2 Matrizen aus?
>
> 2. Wie sieht das Bild von allen 2x2 Matrizen aus?
>
> 3. Was bedeutet es für die Matrix, wenn alle Bildvektoren
> auf [mm]\IR \vektor{1 \\ 1}[/mm] liegen müssen.
Trifft das nicht nur auf besondere orthogonale Matrizen zu, also hier die Einheitsmatrix und [mm] $\begin{pmatrix}0 & 1\\
1 & 0\end{pmatrix}$?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Fr 24.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Also wollen wir mal systematisch rangehen.
Mach das doch mal!
> > 1. Wie sehen alle 2x2 Matrizen aus?
> >
> > 2. Wie sieht das Bild von allen 2x2 Matrizen aus?
> >
> > 3. Was bedeutet es für die Matrix, wenn alle Bildvektoren
> > auf [mm]\IR \vektor{1 \\ 1}[/mm] liegen müssen.
>
> Trifft das nicht nur auf besondere orthogonale Matrizen zu,
> also hier die Einheitsmatrix und [mm]$\begin{pmatrix}0 & 1\\
1 & 0\end{pmatrix}$?[/mm]
Nein. Deren Bild ist nicht [mm] $\IR \vektor{ 1 \\ 1 }$.
[/mm]
LG Felix
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