bilineare Fkt. /Differential < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Es sei f: [mm] \IR^{n}x\IR^{n} \to \IR [/mm] bilineare Funktion.
Berechnen Sie das Differential df . |
Hallo,
Da f bilinear ist , gilt :
[mm] f(p+\xi_{1},q+\xi_{2})= f(p+\xi_{1},q)+f(p+\xi_{1},\xi_{2})=
[/mm]
[mm] f(p,q)+f(\xi_{1},q)+f(p,\xi_{2})+f(\xi_{1},\xi_{2})
[/mm]
Es bleibt zu zeigen,daß [mm] \limes_{(\xi_{1},\xi_{2})\rightarrow\ 0}\bruch{ f(\xi_{1},\xi_{2})}{|| (\xi_{1},\xi_{2}) ||}= [/mm] 0.
Dann soll [mm] f(\xi_{1},q)+f(p,\xi_{2}) [/mm] das gesuchte Differential df sein.
Bei der Definition der totalen Differenzierbarkeit einer Abbildung f geht es um Abbildung folgender Art : [mm] \IR^{n} \to \IR^{m}
[/mm]
In der Aufgabe geht es um f: [mm] \IR^{n}x\IR^{n} \to \IR [/mm] (Bemerkung des Aufgabenstellers der Uni : [mm] \IR^{n}x\IR^{n} \cong \IR^{2n}). [/mm] Warum kann man also auch für bilineare Funktionen die Definition der totalen Differenzierbarkeit betrachten? Liegt der Grund darin, daß [mm] \IR^{n}x\IR^{n} [/mm] und [mm] \IR^{2n} [/mm] zueinander isomorph sind?
Warum /Inwieweit hilft diese Argumentation?
Was kann man verwenden, um [mm] \limes_{(\xi_{1},\xi_{2})\rightarrow\ 0}\bruch{ f(\xi_{1},\xi_{2})}{|| (\xi_{1},\xi_{2}) ||}= [/mm] 0
zu zeigen?
Gruß
Igor
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Fr 03.12.2010 | | Autor: | uliweil |
Hallo Igor,
ich hoffe noch nicht zu spät, ein paar Anmerkungen zu Deiner Frage. Ja, letzlich ist es die Isomorphie von [mm] \IR^{n}x\IR^{n} [/mm] zu [mm] \IR^{2n}, [/mm] die die Übertragung des Begriffes der totalen Differenzierbarkeit erlaubt. Halte Dir bei Rechnungen immer vor Augen, dass ein [mm] \xi \in \IR^{2n} [/mm] identifiziert wird mit einem [mm] (\xi_{1},\xi_{2}) [/mm] und dies wiederum gleich [mm] ((\xi_{1,1} [/mm] ... [mm] \xi_{1,n}), (\xi_{2,1} [/mm] ... [mm] \xi_{2,n})) [/mm] ist. Es wird also alles in allem [mm] ((\xi_{1,1} [/mm] ... [mm] \xi_{1,n}), (\xi_{2,1} [/mm] ... [mm] \xi_{2,n})) [/mm] mit [mm] (\xi_{1,1} [/mm] ... [mm] \xi_{1,n}, \xi_{2,1} [/mm] ... [mm] \xi_{2,n}) [/mm] identifiziert. Da die Isomorphie so einfach ist und nur im korrekten Hinschreiben der Klammern und Indices besteht, macht sich natürlich keiner die Mühe, die Begriffe wie Differenzierbarkeit neu zu definieren.
Nun zu dem, was richtigerweise noch zu zeigen ist; hierzu der Hinweis, dass die Bilinearität nicht nur die Additivität in beiden Komponenten [mm] \xi_{1} [/mm] und [mm] \xi_{2} [/mm] nach sich zieht sondern auch das "Herausziehen" des Skalars: [mm] \lambda [/mm] * [mm] f(\xi_{1}, \xi_{2}) [/mm] = [mm] f(\lambda [/mm] * [mm] \xi_{1}, \xi_{2});
[/mm]
dasselbe in der zweiten Komponente. Wenn Du nun noch kurz überlegst, was [mm] f(0,\xi_{2}) [/mm] bzw. [mm] f(\xi_{1},0) [/mm] ist, sollte der Restbeweis nicht mehr schwer sein.
Gruß
Uli
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:31 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Uli,
danke Dir, dass Du auf die Frage reagiert hast. Das Thema ist für mich noch aktuell. 
Ich habe Fragen zu Deinen Anmerkungen:
>[mm]\xi \in \IR^{2n}[/mm]
> identifiziert wird mit einem [mm](\xi_{1},\xi_{2})[/mm]
- zuerst möchte ich sicherstellen, ob Du [mm] (\xi_{1},\xi_{2}) [/mm] aus [mm] \IR^{n}x\IR^{n} [/mm] meinst.
- Was bedeutet der Begriff "identifizieren" in der Sprache der Mathematik?
(daß die Elemente wirklich gleich sind? Im Wort "identifizieren" steckt das Wort "Identität". Ich verstehe trotzdem nicht, was man außer der Gleichheit von zwei Vektoren unter "identifizieren" in diesem Zusammenhang (bezügl. der definierten mathematischen Begriffen) meinen kann.)
Es ist klar, daß [mm] \xi \in \IR^{2n} [/mm] und [mm] (\xi_{1},\xi_{2}) \in [/mm]
[mm] \IR^{n} x\IR^{n} [/mm] ähnlich aussehen (aber nicht gleich, oder?).
Man kann also nicht schreiben [mm] \IR^{2n} [/mm] = [mm] \IR^{n} [/mm] x [mm] \IR^{n} [/mm] , oder?
Was bedeutet also dann [mm] \xi [/mm] wird "identifiziert" mit [mm] (\xi_{1} \xi_{2}) [/mm] bzw. [mm] \IR^{2n} [/mm] wird "identifiziert" mit [mm] \IR x\IR^{n} [/mm] .
Das einzige ,was für mich fest steht, ist dass
[mm] \IR^{2n} \cong \IR^{n} [/mm] x [mm] \IR^{n}.
[/mm]
Um das ganze zu konkretisieren, möchte ich das obige Problem ein bißchen anders darstellen:
Bei der Aufgabe wird das Differential von [mm] \beta:\IR^{n}x\IR^{n} \to \IR [/mm] gesucht.
Dann wird im Prinzip behauptet(oder stillschweigend vorausgesetzt), daß [mm] \beta: \IR^{2n} \to \IR [/mm] dasselbe Differential hat.
Beweis ???
Wie kann man mit den Mitteln eines Mathematikstudenten (mit dem bisherigen Vorwissen) diese Behauptung "sauber" beweisen?
Oder "liegt die Antwort auf der Hand "?
Wenn ich/wir jetzt nur sage/n, daß das obige wegen der Isomorphie stimmt, reicht zumindest für mich diese Argumentation nicht für einen vollständigen Beweis, da zwischen " da die beiden Räume isomorph
sind " und dem "finish" des Beweises eine Lücke (zumindest für mich) besteht.
Gruß
Igor
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 So 05.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
