boolesche Algebra verknüpfunge < Sonstiges < Hochschule < Informatik < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Di 27.11.2007 | | Autor: | ttgirltt |
| Aufgabe | Sei n eine ganze Zahl mit n>0. n habe die besondere Form, dass es sich als Produkt paarweise verschiedener Primzahlen schreiben lässt. (z.B: 30 = 2*3*5) Sei T die Menge der positiven Teiler von n. ( D.h. auch n und auch die 1 ist mit in T)
Definieren Sie die nötigen drei Verknüpfungen auf T und zeigen Sie dass T so zu einer Booleschen Algebra wird.
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Hallo,
also kann mir jemand bei den Verknüpfungen helfen die Beweise bekomm ich eventuell hin. Also als tipp war gegeben das es was mit kgv ggT zu tun aber wie ist das gemeint?
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Hallo,
> Also als tipp war gegeben das es was mit kgv ggT zu tun aber wie ist das gemeint?
Ganz einfach: Eine boolesche Algbera benötigt zwei binäre Operatoren + und * und einen unären Operator -. Diese sind in deinem Fall ggT, kgV und etwas Drittes (ist nicht schwer...). Nun musst du herausfinden, welche die neutralen und welche die absorbierenden Elemente dieser Verknüpfungen sind. Schau dir einfach an, welche Axiome so eine b.A. hat, dann kommst du schon drauf. Am besten schreibst du dir mal T für n=30 komplett auf und fängst mit den beiden ersten Operatoren an.
Gruß
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Mi 28.11.2007 | | Autor: | ttgirltt |
Mh danke schon mal aber so hab ich das eigentlich schon gewusst.
Ich weiß halt nicht wie ich die Addition und Multiplikation jetzt hinschreiben muss.
Die Axiome haben wir die:
1) x+y=y+x ; x+y=y*x
2) (x+y)+z=x+(y+z); (x*y)*z=x*(y*z)
3) (x+y)*z=x*z+y*z; (x*y)+z=(x+z)*(y+z)
4) (x+y)*x=x; xy+x=x
5) [mm] x+y\overline{y}=x; x(y+\overline{y})
[/mm]
So n=30 soll ich mal als Bsp betrachten hast du gesagt:
also lässt sich als 30=2*3*5 schreiben.
Alle positiven Teiler sind jetzt: T={1,2,3,5,6,10,15,30}
aber wie will ich jetzt die Verknüpfung schreiben.
Für ggt und kgv gehe ich ja immer von 2 verschieden n aus? Das versteh ich nicht wie ich das hier machen muss?
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Hallo,
> Für ggt und kgv gehe ich ja immer von 2 verschieden n aus? Das versteh ich nicht wie ich das hier machen muss?
Nein, du gehst von einem n aus! Nur x und y sind verschieden.
Definiere z.B.:
x * y = kgV(x, y)
und
x + y = ggT(x, y).
Und nun musst du schauen, wie du das - und die speziellen Elemente auf T definierst.
Gruß
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Mi 28.11.2007 | | Autor: | ttgirltt |
Oh man ich glaub ich steh bei der Aufgabe auf dem Schlauch.
Also ich hab dieses T Tupel: (Teiler(a),+,*,-)
[mm] x,y\in [/mm] Teiler(a)
"*": x*y = kgV(x, y)
und
"+": x + y = ggT(x, y)
Okay also T besteht nur aus den Teilern dieses einen n, wobei jetzt alle Teiler dabei sind, nicht nur die Primzahlteiler! Mh also Teiler definiert man ja a ist Teiler von n wenn es ein q gibt mi T:
a*q=n für [mm] q\in \IN
[/mm]
[mm] T={a_{0},...,a_{n}} [/mm] mh stimmt die definition??
Mh und mit dieser "-" Definition also bislang hatten wir da immer nur die Negation was kann das denn noch sein? Das Inverse? x das inverse Element a/x bezüglich a darstellt.
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Hallo,
ich denke, du hast das bislang alles richtig verstanden, nur hast du wahrscheinlich Probleme von dem einfach Beispiel mit 0 und 1 zu abstrahieren.
Das zeigt auch deine Aussage:
> Mh und mit dieser "-" Definition also bislang hatten wir da immer nur die Negation was kann das denn noch sein? Das Inverse? x das inverse Element a/x bezüglich a darstellt.
Wie man es nennt, ist doch schnuppe. Hauptsache, es passt zu allen Axiomen, an denen es beteiligt ist.
Der Quotient war schon die richtige Idee. Nun wollen wir zeigen, dass unsere Negation/Inversion zu unseren Axiomen passen:
5. $x + [mm] y\overline{y} [/mm] = x$
Wir setzen unsere Definitionen ein und erhalten:
$ggT(x, kgV(y, n/y)) = ggT(x, n)$ (wg. der Definition von T)
$ = x$ (da x Teiler von n)
Entsprechend kannst du die Gültigkeit des zweiten Axiom unter 5. zeigen.
Gruß
Martin
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