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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Mi 27.05.2015 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega,\mathcal{F},P) [/mm] ein Wahrscheinlichkeitraum und [mm] (A_n)_{n\in\IN} [/mm] eine unabhängige Folge von Ereignissen aus [mm] \mathcal{F} [/mm] mit [mm] P(A_n)<1 [/mm] für alle [mm] n\in \IN. [/mm] Zeige, dass
[mm] P(\bigcup_{n\in\IN}^{}A_n)=1\gdw P(\limes_{n\rightarrow\infty}supA_n)=1 [/mm] |
Hallo,
ich habe folgendes gemacht:
[mm] "\Rightarrow" 1=P(\bigcup_{n\in\IN}^{}A_n)=P(\bigcup_{n\in\IN}^{}(1-\overline{A_n}))=\summe_{n\in\IN}^{}(1-(1-P(A_n))=\summe_{n\in\IN}^{}P(A_n)=\infty \Rightarrow P(\limes_{n\rightarrow\infty}supA_n)=1 [/mm] (durch Borel-Cantelli-Lemma)
oder ich hätte auch so gemacht für [mm] "\Rightarrow"
[/mm]
[mm] 1=P(\bigcup_{n\in\IN}^{}A_n)\gdw 1=1-P(\bigcap_{n\in\IN}^{}\overline{A_n})\gdw 0=P(\bigcap_{n\in\IN}^{}\overline{A_n})=\produkt_{n\in\IN}^{}(1-P(A_n))\gdw \summe_{n\in\IN}^{}P(A_n)=\infty \Rightarrow P(\limes_{n\rightarrow\infty}supA_n)=1 [/mm] (durch Borel-Cantelli-Lemma)
[mm] "\Leftarrow" 1=P(\limes_{n\rightarrow\infty}supA_n)=1-P(\limes_{n\rightarrow\infty}inf \overline{A_n})=1-P(\bigcup_{n\in\IN}^{}\bigcap_{n=m}^{\infty}\overline{A_m} )=1-\summe_{\n\in\IN}^{}P(\bigcap_{n=m}^{\infty}\overline{A_m} )=1-P(\bigcup_{n\in\IN}^{}\overline{A_n})\gdw 0=P(\bigcup_{n\in\IN}^{}\overline{A_n})=P(\bigcup_{n\in\IN}^{}(1-A_n))\le 1-P(\bigcup_{n\in\IN}^{}A_n)
[/mm]
kann mir jemand sagen ob es richtig ist? dankeschön im voraus.
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Hiho,
also was du aufgeschrieben hast, macht nicht wirklich Sinn:
> ich habe folgendes gemacht:
> [mm][mm] "\Rightarrow" 1=P(\bigcup_{n\in\IN}^{}A_n)=P(\bigcup_{n\in\IN}^{}(1-\overline{A_n}))$
[/mm]
Was soll $1 - [mm] \overline{A_n}$ [/mm] für eine Menge sein? Der Ausdruck macht keinen Sinn!
[mm] $=\summe_{n\in\IN}^{}(1-(1-P(A_n))$
[/mm]
Warum sollte diese Gleichheit gelten? Tut sie im Allgemeinen nicht
[mm] $=\summe_{n\in\IN}^{}P(A_n)=\infty$ [/mm]
Warum soll das jetzt plötzlich unendlich sein?
Nun hast du eine Gleichungskette [mm] $1=\infty$.
[/mm]
> oder ich hätte auch so gemacht für [mm]"\Rightarrow"[/mm]
> [mm][mm] 1=P(\bigcup_{n\in\IN}^{}A_n)\gdw 1=1-P(\bigcap_{n\in\IN}^{}\overline{A_n})\gdw 0=P(\bigcap_{n\in\IN}^{}\overline{A_n})=\produkt_{n\in\IN}^{}(1-P(A_n))$
[/mm]
bis hierhin ok
[mm] $\gdw \summe_{n\in\IN}^{}P(A_n)=\infty$
[/mm]
Warum sollte das jetzt gelten?
> [mm][mm] "\Leftarrow" 1=P(\limes_{n\rightarrow\infty}supA_n)=
[/mm]
Wende die Definition des [mm] \limsup [/mm] an, wie du es mit dem [mm] \liminf [/mm] machen wolltest und nutze, dass die W-Keit eines Schnitts von Mengen immer kleiner ist als das Maß jeder beteiligten Menge (warum?)
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Do 28.05.2015 | | Autor: | mimo1 |
[mm] 1=P(\bigcup_{n\in\IN}^{}A_n)\gdw 1=1-P(\bigcap_{n\in\IN}^{}\overline{A_n})\gdw 0=P(\bigcap_{n\in\IN}^{}\overline{A_n})=\produkt_{n\in\IN}^{}(1-P(A_n))
[/mm]
die frage von dir wie ich nun zu
[mm] \summe_{n\in\IN}^{}P(A_n)=\infty [/mm] dann komme ist, dass wir als hinweis noch bekommen habe: Sei [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] eine reelle zahlenfolge mi [mm] 0\le x_n<1 [/mm] für alle [mm] n\in \IN [/mm] dann gilt
[mm] \produkt_{n\in\IN}^{}(1-x_n)=0 \gdw \summe_{n\in\IN}x_n=\infty
[/mm]
das habe ich verwendet. ich hoffe, damit alles geklärt zu haben. Ist damit die hinrichtung [mm] "\Rightarrow" [/mm] richtig?
und zu [mm] "\Leftarrow" [/mm] habe ich folgendes gemacht:
[mm] "\Leftarrow" 1=P(\limes_{n\rightarrow\infty}supA_n)=P(\bigcap_{n\in\IN}^{}\bigcup_{m=n}^{\infty}A_m)\le [/mm] inf [mm] P(\bigcup_{m=n}^{\infty}A_m)\le \summe_{m=n}^{\infty}P(A_n)=0
[/mm]
ich habe irgendwie ein widerspruch.
irgendwie komme ich nicht auf den richtigen grünen zweig. kannst du mir bitte weiterhelfen? dankeschön im voraus.
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Hiho,
> die frage von dir wie ich nun zu
> [mm]\summe_{n\in\IN}^{}P(A_n)=\infty[/mm] dann komme ist, dass wir
> als hinweis noch bekommen habe: Sei [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] eine
> reelle zahlenfolge mi [mm]0\le x_n<1[/mm] für alle [mm]n\in \IN[/mm] dann gilt
>
> [mm]\produkt_{n\in\IN}^{}(1-x_n)=0 \gdw \summe_{n\in\IN}x_n=\infty[/mm]
>
> das habe ich verwendet. ich hoffe, damit alles geklärt zu
> haben. Ist damit die hinrichtung [mm]"\Rightarrow"[/mm] richtig?
Ja, die passt dann damit.
> und zu [mm]"\Leftarrow"[/mm] habe ich folgendes gemacht:
>
> [mm]"\Leftarrow" 1=P(\limes_{n\rightarrow\infty}supA_n)=P(\bigcap_{n\in\IN}^{}\bigcup_{m=n}^{\infty}A_m)\le[/mm]
> inf [mm]P(\bigcup_{m=n}^{\infty}A_m)\le \summe_{m=n}^{\infty}P(A_n)=0[/mm]
>
> ich habe irgendwie ein widerspruch.
Ja, viel zu kompliziert, es gilt nämlich:
$1 = [mm] P(\limsup_{n\to\infty} A_m) [/mm] = [mm] P\left(\bigcap_{n\in\IN}^{}\bigcup_{m=n}^{\infty}A_m\right) \le P\left(\bigcup_{m=n}^{\infty}A_m\right) [/mm] $ für beliebiges [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Insbesondere also auch für n=1, dann steht da?
Gruß,
Gono
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