charakt. Polynom < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:39 Mi 18.05.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, alle zusammen!
Ich sitze grad vor folgender Aufgabe, habe aber jedoch nicht wirklich Ahnung, wie ich sie machen kann.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen, oder mir einen Tipp geben. Danke!
Aufgabe:
A, B [mm] \in \IR^{n,n}.
[/mm]
(a) Es gelte: det A [mm] \not= [/mm] 0. Zeige, dass AB und BA dasselbe charakteristische Polynom haben.
(b) Beweise die Aussage im Fall, dass A = [mm] \pmat{ E_{r} & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] ist, mit 1 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] n und [mm] E_{r} \in \IR^{r,r} [/mm] (Einheitsmatrix).
zu (a).
Es muss gelten:
[mm] p_{AB} [/mm] = [mm] p_{BA} [/mm] = det (AB-tE) = det (BA-tE)
Und jetzt weiß ich schon nicht mehr weiter. Ich weiß, dass ich die Terme irgendwie zerlegen muss, weil ja immerhin die Bedingung, dass det A [mm] \not= [/mm] 0 ist, bestimmt nicht umsonst dasteht. Aber ich sehe nicht, wie ich das machen soll.
Könnt ihr mir bitte zeigen, wie die Aufgabe löse?
zu (b).
Bei der folgenden Gestalt von A ist doch det A = 0, oder? Heißt das, dass det A nicht unbedingt Null sein muss, damit AB und BA dasselbe charak. Polynom haben, oder wie?
Könnt ihr mir bitte helfen, diese Aufgaben zu machen? Vielen Dank im Voraus.
Dann hätte ich noch eine ganz allgemeine Frage zu Determinantan:
det ist doch multilinear. Stimmt das dann, wenn ich sage:
det (A-B) = det (A) - det (B)?
Oder was heißt multilinear genau? ich werde aus dem skript nicht schlau.
Gute Nacht noch!
VHN
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Salut!
"Multilinear" heißt linear in jeder Spalte (ein "Spezialfall" davon sind "Bilinearformen", z. B. das Skalarprodukt <u,v>).
Klarer wird das denke ich an einem Beispiel:
det (A + B) != det (A) + det(B) (was auch für die Subtraktion gilt)
Vielmehr gilt:
det (A1 + B1,A2 + B2,A3 + B3,...,An + Bn) = det(A1,A2 + B2,A3 + B3,...,An + Bn) + det (B1,A2 + B2,A3 + B3,...,An + Bn)
Was jedoch richtig wäre ist: det(A * B) = det(A) * det(B) (die Matrizen-Multiplikation "operiert" ja quasi auf den Spalten)
Hier noch ein Link zu einem Vorlesungsskript, mittels dessen uns das Ganze an der FAU Erlangen erklärt wurde:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mi.uni-erlangen.de/~geyer/linalg/la5.pdf
Au revoir,
Tarek.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Do 19.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo VHN!
> A, B [mm]\in \IR^{n,n}.[/mm]
> (a) Es gelte: det A [mm]\not=[/mm] 0. Zeige,
> dass AB und BA dasselbe charakteristische Polynom haben.
> (b) Beweise die Aussage im Fall, dass A = [mm]\pmat{ E_{r} & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
> ist, mit 1 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] n und [mm]E_{r} \in \IR^{r,r}[/mm]
> (Einheitsmatrix).
>
> zu (a).
> Es muss gelten:
> [mm]p_{AB}[/mm] = [mm]p_{BA}[/mm] = det (AB-tE) = det (BA-tE)
> Und jetzt weiß ich schon nicht mehr weiter. Ich weiß, dass
> ich die Terme irgendwie zerlegen muss, weil ja immerhin die
> Bedingung, dass det A [mm]\not=[/mm] 0 ist, bestimmt nicht umsonst
> dasteht. Aber ich sehe nicht, wie ich das machen soll.
>
> Könnt ihr mir bitte zeigen, wie die Aufgabe löse?
Es gilt:
[mm] $\det(AB-tE)$
[/mm]
$= [mm] \det(AB-tAA^{-1})$
[/mm]
$= [mm] \det(A \cdot (B-tA^{-1})$
[/mm]
$= [mm] \det(A) \cdot \det(B-tA^{-1})$
[/mm]
$= [mm] \det(B-tA^{-1}) \cdot \det(A)$
[/mm]
$= [mm] \det((B-tA^{-1})A)$
[/mm]
[mm] $=\det(BA-tA^{-1}A)$
[/mm]
$= [mm] \det(BA-tE)$.
[/mm]
> zu (b).
> Bei der folgenden Gestalt von A ist doch det A = 0, oder?
> Heißt das, dass det A nicht unbedingt Null sein muss, damit
> AB und BA dasselbe charak. Polynom haben, oder wie?
Ja, richtig.
Es gilt in diesem Fall
$AB = [mm] \pmat{B_{rr} & \* \\ 0 & 0}$
[/mm]
und
$BA = [mm] \pmat{B_{rr} & 0 \\ \* & 0}$,
[/mm]
wobei
[mm] $B_{rr}= \pmat{b_{11} & \ldots & b_{1r} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{r1} & \ldots & b_{rr}}$
[/mm]
und [mm] $\*$ [/mm] irgendetwas ist.
Warum haben dann $AB$ und $BA$ das gleiche charakteristische Polynom? Denke mal darüber nach und versuche die Aufgabe selber zu Ende zu führen. 
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Do 19.05.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo!
Erstmal danke euch beiden für die Antworten!
Die Teilaufgabe (a) war mir jetzt einleuchtend. Danke! Aber auf sowas muss man erstmal kommen!
Ich habe aber bei der (b) nicht ganz verstanden, wie du auf die Matrix von AB kommst.
Davor hätte ich erstmal ein paar allgemeine Fragen:
Verstehe ich das richtig, wenn ich sage, dass A = [mm] \pmat{ E_{r} & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] eine 2,2-Matrix ist, oder etwa nicht?
Wenn das stimmen sollte, dann müsste doch B auch eine 2,2-Matrix sein, wegen A,B [mm] \in \IR^{n,n}, [/mm] also muss B folgende Gestalt haben:
B = [mm] \pmat{ b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} }
[/mm]
Stimmt das?
Dann gilt doch:
AB = [mm] \pmat{ E_{r} & 0 \\ 0 & 0 } \pmat{ b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} }
[/mm]
= [mm] \pmat{ E_{r} b_{11} & E_{r} b_{12} \\ 0 & 0 }
[/mm]
Aber es ist doch: [mm] E_{r} b_{11} [/mm] = [mm] \pmat{ b_{11} & 0 \\ 0 & b_{11} } [/mm] wenn r=2 ist.
Oder wenn r=1 ist: [mm] E_{r} b_{11} [/mm] = [mm] b_{11}
[/mm]
Ich glaube, meine Überlegung ist falsch, weil ich nicht wie du auf das [mm] B_{rr} [/mm] komme in AB = [mm] \pmat{ B_{rr} & * \\ 0 & 0 }.
[/mm]
Oder ich gehe so vor:
AB = [mm] \pmat{ E_{r} & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] B
= [mm] \pmat{ E_{r}B & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] (mit 0 B = 0)
= [mm] \pmat{ B_{rr} & 0 \\ 0 & 0 } [/mm]
Aber dann komm ich hier nicht auf das * an der 1,2-ten stelle deiner Matrix AB.
Kannst du mir bitte nochmal erklären, wie du auf deine AB Matrix kommst oder wo mein Denkfehler liegt? Danke.
Ich habe aber jetzt einfach versucht, mit deinen Ergebnissen die Aufgabe zu lösen und bin auf folgendes gekommen:
Es soll ja gelten: [mm] p_{AB} [/mm] = [mm] p_{BA}
[/mm]
[mm] p_{AB} [/mm] = det (AB-tE)
= det ( [mm] \pmat{ B_{rr} & * \\ 0 & 0 } [/mm] - [mm] \pmat{ t & 0 \\ 0 & t } [/mm] )
= det ( [mm] \pmat{ (B_{rr}-t) & * \\ 0 & -t }
[/mm]
= [mm] -(B_{rr}-t) [/mm] t
[mm] p_{BA} [/mm] = det (BA-tE)
= det ( [mm] \pmat{ B_{rr} & 0 \\ * & 0 } [/mm] - [mm] \pmat{ t & 0 \\ 0 & t } [/mm] )
= det ( [mm] \pmat{ (B_{rr}-t) & 0 \\ * & -t }
[/mm]
= [mm] -(B_{rr}-t) [/mm] t
Also gilt [mm] p_{AB} [/mm] = [mm] p_{BA}.
[/mm]
Stimmt das? Ich bin mir relativ unsicher. Aber ich merke selber, dass mein Lösungsweg nicht sehr "elegant" ist. Aber egal.
Vielen Dank!
VHN
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo VHN!
> Die Teilaufgabe (a) war mir jetzt einleuchtend. Danke! Aber
> auf sowas muss man erstmal kommen!
>
> Ich habe aber bei der (b) nicht ganz verstanden, wie du auf
> die Matrix von AB kommst.
> Davor hätte ich erstmal ein paar allgemeine Fragen:
> Verstehe ich das richtig, wenn ich sage, dass A = [mm]\pmat{ E_{r} & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
> eine 2,2-Matrix ist, oder etwa nicht?
Nein. Das ist nur eine abkürzende Schreibweise für eine Blockmatrix. Im Falle $n=5$, $r=3$ etwa ist:
$A = [mm] \pmat{ E_r & 0 \\ 0 & 0} [/mm] = [mm] \pmat [/mm] {1 & 0 & 0 & 0 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & 1 & 0 & 0 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & 0 & 0 & 0 & 0}$,
und wir haben:
$A [mm] \cdot [/mm] B= [mm] \pmat [/mm] {1 & 0 & 0 & 0 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & 1 & 0 & 0 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & 0 & 0 & 0 & 0} [mm] \cdot \pmat{ b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14} & b_{15} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} & b_{25} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34} & b_{35} \\ b_{41} & b_{42} & b_{43} & b_{44} & b_{45} \\ b_{51} & b_{52} & b_{53} & b_{54} & b_{55}} [/mm] = [mm] \pmat{b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14} & b_{15} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} & b_{25} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34} & b_{35} \\ 0& 0 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}$
[/mm]
und
$B [mm] \cdot [/mm] A= [mm] \pmat{ b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14} & b_{15} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} & b_{25} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34} & b_{35} \\ b_{41} & b_{42} & b_{43} & b_{44} & b_{45} \\ b_{51} & b_{52} & b_{53} & b_{54} & b_{55}} \cdot \pmat [/mm] {1 & 0 & 0 & 0 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & 1 & 0 & 0 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & 0 & 0 & 0 & 0} = [mm] \pmat{b_{11} & b_{12} & b_{13} & 0 & 0 \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & 0 & 0 \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} & 0 & 0 \\ b_{41} & b_{42} & b_{43} & 0& 0 \\ b_{51} & b_{52} & b_{53} & 0 & 0}$.
[/mm]
> Ich habe aber jetzt einfach versucht, mit deinen
> Ergebnissen die Aufgabe zu lösen und bin auf folgendes
> gekommen:
>
> Es soll ja gelten: [mm]p_{AB}[/mm] = [mm]p_{BA}[/mm]
> [mm]p_{AB}[/mm] = det (AB-tE)
> = det ( [mm]\pmat{ B_{rr} & * \\ 0 & 0 }[/mm] - [mm]\pmat{ t & 0 \\ 0 & t }[/mm]
> )
> = det ( [mm]\pmat{ (B_{rr}-t) & * \\ 0 & -t }[/mm]
> = [mm]-(B_{rr}-t)[/mm]
> t
Man müsste es sauberer so schreiben:
[mm] $p_{AB}(t)$
[/mm]
[mm] $=\det(AB-tE_n)$
[/mm]
$= [mm] \det\left( \pmat{B_{rr} - tE_r & \* \\ 0 & -tE_{n-r}} \right)$
[/mm]
$= [mm] \det\left( B_{rr} - tE_r \right) \cdot (-t)^{n-r}$
[/mm]
und
[mm] $p_{BA}(t)$
[/mm]
[mm] $=\det(BA-tE_n)$
[/mm]
[mm] $=\det\left( \pmat{B_{rr} - tE_r & 0 \\ \* & -tE_{n-r}} \right)$
[/mm]
[mm] $=\det\left(B_{rr} - tE_r \right) \cdot (-t)^{n-r}$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 So 22.05.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo Julius!
vielen dank für deine ausführliche Antwort.
Mir war nämlich das mit der blockmatrix nicht so klar, drum konnt ich mir das ganze nicht so gut vorstellen.
Aber jetzt hab ich alles verstanden, aber an diese Schreibweisen muss ich mich noch gewöhnen.
Vielen dank!
Ich hätte da noch eine Zusatzfrage zu dieser Aufgabe. Vllt könntest du mir nochmal zeigen, oder zumindest einen tipp geben, wie man sie löst.
Ich soll diese Aussage, also dass AB und BA das gleiche charakteristische Polynom haben, für ein allgemeines A beweisen.
Dazu hab ich nochmal eine Verständnisfrage: heißt "allgemeines A", dass A eine beliebige Gestalt haben kann?
Was soll hier konkret beweisen. Ich habe doch bereits bei (a) bewiesen, dass die aussage gilt unter der bedingung det A [mm] \not= [/mm] 0. reicht es dann hier, wenn ich aussage noch für det A=0 beweise?
Oder was wollen die eigentlich von mir?
Tut mir leid für die vielen fragen, aber ich hab ein bisschen probleme, die aufgabenstellung zu erfassen.
Vielen dank nochmals!
VHN
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:21 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo VHN!
Das habe ich hier bereits gezeigt.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 Fr 20.05.2005 | | Autor: | terrier |
1)frage 1 wurde dir die lösung doch schon von julius gezeigt.guck es dir nochmal an.
2) deine matrix a ist keine 2x2 matrix.der block in der matrix a ist eine rxr matrix wobei r<=n. der rest sind nullen so das die gesamte matrix einen nxn ist.
3)versuch mal dir das ganze mit A als n dimensionaler einheitsmatrix klarzumachen, da die matrixmultiplikation mit der einheitsmatrix kommutativ ist , somit auch AB=BA (falls A oder B einheitsmatrix)und somit auch das gleiche charakteristische polynom. dann rechne das mal mit einem bsp. indem A keine einheitsmatrix ist, d.h. es nur einen block rxr gibt mit r<n und dem rest nullen z.b.
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
=A und irgendeiner 4x4 matrix B zu berechnen ,wie * aussieht, und auch das char. polynom.
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