charakteristisches Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Mi 27.09.2006 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | Bestimme das charakteristisches Polynom einer Matrix der Form
[mm] A=\pmat{ 0 & . & . & . & . & -a_{n} \\ 1 & 0 & . & . & . & -a_{n}-1 \\ & . & . & & & . \\ & & .& . & & . \\ & & & . & 0 & -a_{2} \\ & & & & 1 & -a_{1} }
[/mm]
Was fällt dir auf? |
Hallo alle zusammen,
ich weiß nicht genau wie man das machen sollte.
Konkret kann ich das bestimmen aber so allgemein:(
[mm] P_{A}(\lambda)=det(A-\lambda*I)=(-\lambda)...(-a_{1}-\lambda)
[/mm]
diese Frage aber Was fällt Dir auf ist schon merkwürdig, würde ja vermuten das [mm] P_{A}(\lambda)=0
[/mm]
kann ich aber nicht genau sagen wüßte auch nicht wie ich das zeigen soll.
wäre nett wenn mir da jemand etwas helfen könnte
Vilen Dank Gruß hooover
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Mi 27.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo hooover!
> Bestimme das charakteristisches Polynom einer Matrix der
> Form
>
> [mm]A=\pmat{ 0 & . & . & . & . & -a_{n} \\ 1 & 0 & . & . & . & -a_{n}-1 \\ & . & . & & & . \\ & & .& . & & . \\ & & & . & 0 & -a_{2} \\ & & & & 1 & -a_{1} }[/mm]
>
> Was fällt dir auf?
> Hallo alle zusammen,
>
> ich weiß nicht genau wie man das machen sollte.
Per Induktion  Versuch es doch erstmal fuer $n = 2, 3, 4$ konkret auszurechnen und stelle eine Vermutung auf. Dann versuche, sie per Induktion zu beweisen. Dazu kannst du dann etwa eine Laplace-Entwicklung der Determinante nach der ersten Spalte machen.
> Konkret kann ich das bestimmen aber so allgemein:(
>
> [mm]P_{A}(\lambda)=det(A-\lambda*I)=(-\lambda)...(-a_{1}-\lambda)[/mm]
Was genau meinst du damit?
> diese Frage aber Was fällt Dir auf ist schon merkwürdig,
> würde ja vermuten das [mm]P_{A}(\lambda)=0[/mm]
Du meinst, dass das charakteristische Polynom das Nullpolynom ist? Sicher nicht, da es Grad $n$ hat.
LG Felix
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