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| Aufgabe | Sei [mm]L/K[/mm] eine endliche Körpererweiterung vom Grad [mm]n:=[L:K][/mm]
(a) Zeige, dass für alle [mm] a \in L [/mm] die Abbildung [mm]\phi_a:L \to L[/mm], [mm]b \mapto ab[/mm]
[mm]K[/mm]-linear ist.
(b) Bezeichne [mm]p_a \in K[x][/mm] das charakteristische Polynom des Endomorphismus [mm]\phi_a[/mm].
Zeige, dass [mm]p_a(a)=0[/mm] gilt. (Hinweis: benutze einen Satz aus der Linearen Algebra.)
(c) Wir nehmen nun an, dass [mm] L/K[/mm] durch [mm]a[/mm] erzeugt wird, also [mm]L=K[a][/mm]. Sei
[mm][mm] f=x^n+a_(n-1)x^{n-1}+...+a_0
[/mm]
das zugehörige Minimalpolynom von [mm]a[/mm] über [mm]K[/mm].
Bestimme eine geeignete Darstellungsmatrix von [mm]\phi_a[/mm] und berechne das zugehörige charakteristische Polynom [mm]p_a[/mm].
(d) Nun wenden wir uns wieder dem allgemeinen Fall zu und betrachten den Turm von Körpererweiterungen [mm]K \subset K(a) \subset L[/mm]. Sei [mm]d:= [K(a):K] [/mm] der Grad von [mm]a[/mm] über [mm]K[/mm] und [mm]f_a:=Mipo_K (a)[/mm] das Minimalpolynom von [mm]a[/mm] über [mm]K[/mm].
Zeige, dass dann
[mm]p_a=f_a^(n/d)[/mm]
gilt.
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Ich würde mich sehr freuen, wenn ich zu dieser Aufgabe ein wenig Starthilfe bekommen würde, da ich bisher wenig Ahnung habe, was ich hier eigentlich machen soll.
zu (a): soll man dann einfach Elemente aus K einsetzen und sagen, dass diese Multipliziert mit a in L liegen? Spielt der Grad der KE hier eine Rolle?
zu (c): Ist es richtig, dass die Darstellungsmatrix von [mm]\phi_a[/mm] eine nxn-Diagonalmatrix mit Diagonaleinträgen a ist?
Über einen Gedankenanstoß würde ich mich sehr freuen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf einer anderen Internetseite gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Di 04.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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