charakteristisches Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | geg. MatriX A [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }
[/mm]
Berechnen sie das char. Polynom |
Hallo,
ich war leider bei dem thema in der uni krank. jetzt weiss ich nicht so recht wie ich das rechne.
formel ist: P (t) = det (t * In - A)
kann ich jetzt erst mal t * In rechnen? und was bedeutet hier das -A (mir ist schon klar das A die geg. Matrix ist, aber was ist mit dem - und muss ich mal rechnen)
ich weiss das es total leicht ist. ich weiss nur nicht was ich schrittweise machen muss.
es wäre toll wenn mir jemand es an hand von einem bsp zeigen könnte!!
vielen dank im vorraus!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Fr 20.02.2009 | | Autor: | Adri_an |
Hi,
hier ein Beispiel:
Sei
[mm]
A=\pmat{0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8}
[/mm].
1. Berechne zuerst die Matrix [mm]\lambda*I-A=:B[/mm].
[mm]B=\pmat{\lambda&-1&0\\0&\lambda&-1\\-4&17&\lambda-8}[/mm]
2. Determinante von [mm]B[/mm] mit Hilfe des Entwicklungssatzes nach Laplace ausrechnen. So erhälst du dein charakteristisches Polynom. Es bietet sich immer an nach der jeweiligen Zeile bzw Spalte zu entwickeln, die mehrere Nullen aufweist. Ich entwickele hier nach der ersten Spalte:
[mm]det\ B=det \pmat{\lambda&-1&0\\0&\lambda&-1\\-4&17&\lambda-8} =+\lambda*det\pmat{\lambda&-1\\17&\lambda-8}-0*det \pmat{-1&0\\17&\lambda-8}+(-4)*det \pmat{-1&0\\ \lambda&-1}[/mm]. Achte bei der Entwicklung nach Laplace auf das wechselnde Vorzeichen! Tipp, stelle dir ein Vorzeichen-Schachbrett vor ^^:
[mm]B=\pmat{+&-&+\\-&+&-\\+&-&+}[/mm].
Nun musst du noch wissen, wie die Determinante einer 2x2 Matrix berechnet wird (--> Wikipedia).
Gruß,
Adri_an.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 Fr 20.02.2009 | | Autor: | crashby |
Hallo,
sei $ [mm] A=\pmat{a & b\\ c & d} [/mm] $ dann gilt für das charakteristische Polynom:
$ [mm] p(\lambda)=\lambda^2-(a+d)\cdot \lambda [/mm] +(ad-bc)=0$
wobei die erste Klammer auch "Spur" genannt wird und die hintere Klammer ist einfach die Determinante.
lg crashby
|
|
|
|
