charakteristisches Polynom < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Mo 05.09.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | Es sei V der Vektorraum [mm] \IR^{n}. [/mm] Weiter sei [mm] \phi:V \to [/mm] V definiert durch [mm] \phi((v_{1}, v_{2}, [/mm] ... , [mm] v_{n})^{t})=(v_{n}, v_{n-1}, [/mm] ... , [mm] v_{1})^{t}.
[/mm]
Zu bestimmen ist das charakteristische Polynom von [mm] \phi. [/mm] |
Hallo an alle,
ich habe Probleme mir die Abbildung [mm] \phi [/mm] vorzustellen.
Wie man das charakteristische Polynom eines Vektorraumes berechnet, wenn der als Matrix ausgedrückt ist, kann ich, jedoch weiß ich nicht wie ich hier [mm] \phi [/mm] als Matrix darstelle.
Ich bitte um Hilfe 
Vielen Dank im Voraus, Paula!!!
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Moin,
> Es sei V der Vektorraum [mm]\IR^{n}.[/mm] Weiter sei [mm]\phi:V \to[/mm] V
> definiert durch [mm]\phi((v_{1}, v_{2},[/mm] ... ,
> [mm]v_{n})^{t})=(v_{n}, v_{n-1},[/mm] ... , [mm]v_{1})^{t}.[/mm]
>
> Zu bestimmen ist das charakteristische Polynom von [mm]\phi.[/mm]
>
> Hallo an alle,
> ich habe Probleme mir die Abbildung [mm]\phi[/mm] vorzustellen.
> Wie man das charakteristische Polynom eines Vektorraumes
> berechnet, wenn der als Matrix ausgedrückt ist, kann ich,
> jedoch weiß ich nicht wie ich hier [mm]\phi[/mm] als Matrix darstelle.
Die Abbildungsmatrix zu finden, ist eine gute Idee. Überlege dir, was die Abbildung macht: Sie kehrt die Reihenfolge der Standardbasisvektoren um (d.h. [mm] e_1 [/mm] wird auf [mm] e_n [/mm] abgebildet [mm] e_2 [/mm] auf [mm] e_{n-1} [/mm] usw.).
Wie sieht dafür die Abbildungsmatrix aus?
LG
>
> Ich bitte um Hilfe
>
> Vielen Dank im Voraus, Paula!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mo 05.09.2011 | | Autor: | paula_88 |
> Die Abbildungsmatrix zu finden, ist eine gute Idee.
> Überlege dir, was die Abbildung macht: Sie kehrt die
> Reihenfolge der Standardbasisvektoren um (d.h. [mm]e_1[/mm] wird auf
> [mm]e_n[/mm] abgebildet [mm]e_2[/mm] auf [mm]e_{n-1}[/mm] usw.).
Das ist das Einzige, was ich durch die gegebene Abbildung interpretieren konnte: dass das kleinste Element des Standartbasisvektors dem größten Element zugeordnet wird, das 2. kleinste Elemenet dem 2. größten etc.
> Wie sieht dafür die Abbildungsmatrix aus?
Gute Frage, da hab ich trotzdem immernoch keine Ahnung. Ist es durch die Abbildung eigentlich definiert, was für eine m x n Matrix gernau die Abbildungsmatrix ist? Gibt es sonst noch Wissenswertes was ich benötige, um die Abbildung [mm] \phi [/mm] in eine Matrix umzuformen?
Das ist für mich, wie man merkt, Neuland
Vielen Dank für die Geduld, Eure Paula!!!
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[mm] $\phi$ [/mm] ist eine Abbildung von [mm] $\IR^n$ [/mm] nach [mm] $\IR^n$.
[/mm]
Somit müsste deine Matrix eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix sein.
Dann stehen in der Matrix die Bilder der Basisvektoren.
Also die i-te Spalte deiner Matrix ist [mm] $\phi(e_i)$, [/mm] wobei [mm] $e_i [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0}$ [/mm] der Standardbasisvektor mit nur 0en und einer 1 an i-ter Stelle.
Also einfach die Basis durchgehen und die Bilder davon als Spalten in die Matrix schreiben, dann hast du die Abbildungsmatrix.
MfG
Schadow
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