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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Do 26.11.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Determinanten von
a,$ [mm] \begin{bmatrix} cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{bmatrix}$ [/mm] (Drehung)
b,$ I - 2 [mm] \begin{bmatrix} cos( \alpha) \\ sin( \alpha) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos( \alpha) & sin( \alpha) \end{bmatrix}$ [/mm] (Spiegelung) |
Hallo,
a, $ | [mm] \begin{bmatrix} cos (\alpha) & sin (\alpha) \\ sin (\alpha) & cos (\alpha) \end{bmatrix} [/mm] | = [mm] cos^2 (\alpha) [/mm] - [mm] sin^2 (\alpha)$
[/mm]
Nun habe ich folgendes benutzt: [mm] $sin^2 (\alpha) [/mm] + [mm] cos^2 (\alpha) [/mm] = 1 -> [mm] sin^2 (\alpha) [/mm] = 1 - [mm] cos^2 (\alpha)$
[/mm]
Daraus ergibt sich : $ [mm] cos^2 (\alpha) [/mm] - (1 - [mm] cos^2 (\alpha)) [/mm] = 2 [mm] cos^2 (\alpha) [/mm] - 1$
Es müsste doch aber 1 herauskommen, oder?
Wo liegt mein Fehler?
b, $| I - 2 [mm] \begin{bmatrix} cos (\alpha) \\ sin(\alpha) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos(\alpha) & sin(\alpha) \end{bmatrix} [/mm] | = [mm] |\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} [/mm] - 2 [mm] \begin{bmatrix} cos^2(\alpha) & cos(\alpha) sin(\alpha) \\ sin(\alpha) cos(\alpha) & sin^2(\alpha) \end{bmatrix}| [/mm] = [mm] |\begin{bmatrix} 1-2 cos^2 (\alpha) & 0 - 2cos(\alpha) sin(\alpha) \\ 0 - 2 sin(\alpha) cos(\alpha) & 1-2 sin^2(\alpha) \end{bmatrix}|
[/mm]
= $(1-2 [mm] cos^2(\alpha) [/mm] )(1-2 [mm] sin^2(\alpha) )-(0-2cos(\alpha) sin(\alpha) [/mm] )(0-2 [mm] cos(\alpha) sin(\alpha)) [/mm] $
= $1 - 2 [mm] sin^2(\alpha) [/mm] - 2 [mm] cos^2(\alpha) [/mm] + 4 [mm] sin^2(\alpha) cos^2 (\alpha) [/mm] - [mm] (4cos^2(\alpha) sin^2(\alpha)) [/mm] $
= $1 - 2 [mm] (sin^2(\alpha) [/mm] + [mm] cos^2(\alpha)) [/mm] + 4 [mm] sin^2(\alpha) cos^2 (\alpha) [/mm] - [mm] 4cos^2(\alpha) sin^2(\alpha) [/mm] $
= $1 - 2 (1) = -1$
Das müsste doch passen?
Besten Dank
itse
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Hallo itse,
> Berechnen Sie die Determinanten von
>
> a,[mm] \begin{bmatrix} cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{bmatrix}[/mm]
> (Drehung)
>
> b,[mm] I - 2 \begin{bmatrix} cos( \alpha) \\ sin( \alpha) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos( \alpha) & sin( \alpha) \end{bmatrix}[/mm]
> (Spiegelung)
> Hallo,
>
> a, [mm]| \begin{bmatrix} cos (\alpha) & sin (\alpha) \\ sin (\alpha) & cos (\alpha) \end{bmatrix} | = cos^2 (\alpha) - sin^2 (\alpha)[/mm]
>
> Nun habe ich folgendes benutzt: [mm]sin^2 (\alpha) + cos^2 (\alpha) = 1 -> sin^2 (\alpha) = 1 - cos^2 (\alpha)[/mm]
>
> Daraus ergibt sich : [mm]cos^2 (\alpha) - (1 - cos^2 (\alpha)) = 2 cos^2 (\alpha) - 1[/mm]
>
> Es müsste doch aber 1 herauskommen, oder?
>
> Wo liegt mein Fehler?
>
Der Fehler liegt in der Drehmatrix, dies muss lauten:
[mm] \begin{bmatrix} cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ \blue{-}sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{bmatrix}[/mm]
>
> b, $| I - 2 [mm]\begin{bmatrix} cos (\alpha) \\ sin(\alpha) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos(\alpha) & sin(\alpha) \end{bmatrix}[/mm]
> | = [mm]|\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}[/mm] - 2
> [mm]\begin{bmatrix} cos^2(\alpha) & cos(\alpha) sin(\alpha) \\ sin(\alpha) cos(\alpha) & sin^2(\alpha) \end{bmatrix}|[/mm]
> = [mm]|\begin{bmatrix} 1-2 cos^2 (\alpha) & 0 - 2cos(\alpha) sin(\alpha) \\ 0 - 2 sin(\alpha) cos(\alpha) & 1-2 sin^2(\alpha) \end{bmatrix}|[/mm]
>
> = [mm](1-2 cos^2(\alpha) )(1-2 sin^2(\alpha) )-(0-2cos(\alpha) sin(\alpha) )(0-2 cos(\alpha) sin(\alpha))[/mm]
>
> = [mm]1 - 2 sin^2(\alpha) - 2 cos^2(\alpha) + 4 sin^2(\alpha) cos^2 (\alpha) - (4cos^2(\alpha) sin^2(\alpha))[/mm]
>
> = [mm]1 - 2 (sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha)) + 4 sin^2(\alpha) cos^2 (\alpha) - 4cos^2(\alpha) sin^2(\alpha)[/mm]
>
> = [mm]1 - 2 (1) = -1[/mm]
>
> Das müsste doch passen?
>
Die Rechnung stimmt auf jeden Fall. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Besten Dank
> itse
Gruss
MathePower
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