det,spur < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi,ich brauche ganz dringend eure HIlfe,denn ich brauche fast die volle Punktzahl in meinen Hausaufgaben!Und ich brauche die wirklich ganz,ganz dringend,deswegen bitte ich euch ganz herzlich meine Aufgaben auf Fehler zu untersuchen!HOffe ihr könnt mir helfen:
Es sei [mm] A=[a_{ij}] [/mm] E [mm] IR^{2,2}.
[/mm]
Zeigen Sie :
der(A- [mm] \lambda I_{2})= \lambda^{2}-spur(a) \lambda+det(A), \forall \lambda [/mm] E IR; dabei ist spu(A):= [mm] a_{11}+ a_{22}.
[/mm]
So meine Lösung:
A= [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }
[/mm]
[mm] det(\pmat{ a_{11- \lambda} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22- \lambda} })
[/mm]
=( [mm] a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)-a_{12}a_{22}
[/mm]
[mm] =a_{11}a_{22}-a_{11}\lambda-a_{22}\lambda+\lambda^{2}-a_{12}a_{21}
[/mm]
[mm] =\lambda^{2}-\lambda a_{11}-\lambda a_{22}-a_{12}a_{21}+a_{11}a_{22}
[/mm]
[mm] =\lambda^{2}-\lambda(a_{11}a_{22})+a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
[/mm]
[mm] =\lambda^{2}-2a_{11}-\lambda a_{22}-a_{12}a_{21}+a_{11}a_{22}
[/mm]
b)Unter welcher Bedingung an die Einträge der Matrix A besitzt A genau ein Eigenwert(mit alg.Vielfachheit 2).
Antwort:Unter der Bedingung das A die Einheitsmatrix ist....
Und?wie siehts aus?
|
|
| |
|
Grüße!
Also, die a) ist im Grunde richtig, Du hast Dich nur zwei mal vertippt: in der vorletzten Zeile gehört ein + hin und kein [mm] $\cdot$ [/mm] und in der letzten Zeile hat sich ein [mm] $\lambda$ [/mm] in eine 2 verwandelt. Also korrigiert:
> [mm] $=\lambda^{2}-\lambda(a_{11}+a_{22})+a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$
[/mm]
> [mm] $=\lambda^{2}-\lambdaa_{11}-\lambda a_{22}-a_{12}a_{21}+a_{11}a_{22}$
[/mm]
Dann wäre noch hilfreich zu erwähnen, dass dies genau der geforderten Form entspricht.
> b)Unter welcher Bedingung an die Einträge der Matrix A
> besitzt A genau ein Eigenwert(mit alg.Vielfachheit 2).
> Antwort:Unter der Bedingung das A die Einheitsmatrix
> ist....
Nur die Einheitsmatrix? Nein, es gibt noch mehr Möglichkeiten... aber mit Hilfe von a) kann man das herausfinden!
Ein Polynom über [mm] $\IR^2$ [/mm] hat genau dann eine doppelte Nullstelle (bei a), falls es so aussieht:
$(T - [mm] a)^2 [/mm] = [mm] T^2 [/mm] - 2aT + [mm] a^2$
[/mm]
Auf das char. Polynom angewandt ergibt sich also welche Beziehung, in der det und Spur zueinander stehen müssen, damit sich diese Form ergibt...?
Lars
> Und?wie siehts aus?
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
hm,da steh ich jetzt aufm schlauch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 So 30.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Der Rest ist doch jetzt einfach:
Ihr hattet gezeigt, dass gilt:
[mm] $CP_A(\lambda) [/mm] = [mm] \lambda^2 [/mm] - Spur(A) [mm] \lambda +\det(A)$,
[/mm]
während Lars gezeigt hat, dass im Falle, dass ein Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit zwei vorkommt, folgendes gelten muss:
[mm] $CP_A(\lambda) [/mm] = [mm] \lambda^2 -2a\lambda [/mm] + [mm] a^2$.
[/mm]
Ein Koeffizientenvergleich liefert:
$2a = Spur(A)$ und [mm] $a^2 [/mm] = [mm] \det(A)$,
[/mm]
also:
[mm] $\det(A) [/mm] = [mm] \frac{Spur(A)^2}{4}$.
[/mm]
Was war daran jetzt das Problem? 
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
also kann ich jetzte sagen dass unter der bedingung
det(A)= [mm] \bruch{Spur(A^{2})}{4} [/mm] ein eigenwert mit der alg.Vielfachheit 2 vorkommt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 So 30.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> also kann ich jetzte sagen dass unter der bedingung
>
> det(A)= [mm]\bruch{Spur(A^{2})}{4}[/mm] ein eigenwert mit der
> alg.Vielfachheit 2 vorkommt?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Richtig muss es lauten:
Genau dann, wenn
[mm]det(A)= \bruch{Spur(A)^{2}}{4}[/mm]
gilt, hat $A$ einen Eigenwert der algebraischen Vielfachheit 2.
Du hattest die Klammern falsch gesetzt. Es gilt:
[mm] $Spur(A)^2\stackrel{(i.A.)}{\ne} Spur(A^2)$
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
|
