diagonalisierbar Abb. < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Di 28.05.2013 | | Autor: | SaskiaCl |
| Aufgabe | Es sei f die lineare Abbildung [mm] f:\IR^{2}->\IR^{2} [/mm] , A -> [mm] A^{T}
[/mm]
Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Abbildung f. Ist f diagonalisierbar? Falls ja, bestimmen Sie eine Basis B von [mm] \IR^{2}, [/mm] so dass [mm] M^{B,B}(f) [/mm] eine Diagonalmatrix ist. |
Guten Tag,
Ich habe die obige Aufgabe wobei [mm] A^{T} [/mm] die Transponierte Matrix A bezeichnet.
Nun habe ich einige Beispiel gerechnet und musste feststellen das es für f wohl keine feste Abbildungs -Vorschrift gibt.
Aber wie komme ich dann an die Eigenwerte und Vektoren?
Ich wäre für Hilfe dankbar
Viele Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Di 28.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es sei f die lineare Abbildung [mm]f:\IR^{2}->\IR^{2}[/mm] , A ->
> [mm]A^{T}[/mm]
Das soll wohl [mm][mm] f:\IR^{2 \times 2}->\IR^{2 \times 2} [/mm] lauten, also
[mm] f(A):=A^T
[/mm]
> Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der
> Abbildung f. Ist f diagonalisierbar? Falls ja, bestimmen
> Sie eine Basis B von [mm]\IR^{2},[/mm] so dass [mm]M^{B,B}(f)[/mm] eine
> Diagonalmatrix ist.
> Guten Tag,
> Ich habe die obige Aufgabe wobei [mm]A^{T}[/mm] die Transponierte
> Matrix A bezeichnet.
> Nun habe ich einige Beispiel gerechnet und musste
> feststellen das es für f wohl keine feste Abbildungs
> -Vorschrift gibt.
Doch [mm] f(A)=A^T
[/mm]
> Aber wie komme ich dann an die Eigenwerte und Vektoren?
Zum Beispiel ist [mm] \lambda \in \IR [/mm] ein Eigenwert von f, wenn es ein A [mm] \ne [/mm] 0 gibt mit [mm] A^T=\lambda [/mm] A.
FRED
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> Ich wäre für Hilfe dankbar
> Viele Grüße
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Di 28.05.2013 | | Autor: | SaskiaCl |
Also ist z.B 1 ein Eigenwert da [mm] I^{T}=1* [/mm] I, ist dies nicht sogar der einzige?
Da die diagonale bei einer Transposition gleich bleit.
Eine Basis von [mm] \IR^{2} [/mm] ist [mm] \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1} [/mm] also,
[mm] A^{R^{2}}_{R^{2}}=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Di 28.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Also ist z.B 1 ein Eigenwert da [mm]I^{T}=1*[/mm] I, ist dies nicht
> sogar der einzige?
Sei [mm] \lambda \in \IR [/mm] , A [mm] \ne [/mm] 0 und [mm] $A^T= \lambda*A$. [/mm] Dann ist
[mm] A=(A^T)^T=\lambda*A^T [/mm] = [mm] \lambda^2A.
[/mm]
Somit ist [mm] \lambda= \pm [/mm] 1.
> Da die diagonale bei einer Transposition gleich bleit.
>
>
> Eine Basis von [mm]\IR^{2}[/mm] ist [mm]\vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1}[/mm]
Ja
> also,
> [mm]A^{R^{2}}_{R^{2}}=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> richtig ?
Nein.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Di 28.05.2013 | | Autor: | SaskiaCl |
Basis [mm] R^{2x2} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
f( [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 })= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }=1*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },0*\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },0*\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 },0*\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
f( [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 })= \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }=0*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },0*\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },1*\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 },0*\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
f( [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 })= \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }=0*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },1*\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },0*\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 },0*\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
f( [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 })= \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } =0*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },0*\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },0*\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 },1*\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Alos
[mm] m=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ } <=>\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ } [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Di 28.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Basis [mm]R^{2x2}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> f( [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 })= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }=1*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },0*\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },0*\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 },0*\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> f( [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 })= \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }=0*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },0*\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },1*\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 },0*\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> f( [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 })= \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }=0*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },1*\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },0*\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 },0*\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> f( [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 })= \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } =0*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },0*\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },0*\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 },1*\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Alos
> [mm]m=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ } <=>\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ }[/mm]
Mach das letzte [mm] \gdw [/mm] weg !
Alles was Du gemacht hast ist: Du hast eine Basisis angegeben, bezüglich derer f die Abbildungsmatrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ }
[/mm]
Das ist aber keine Diagonalmatrix !
Betrachte mal die Matrix
[mm] A:=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }
[/mm]
Dann ist [mm] A^T=-A.
[/mm]
f hat also auch den Eigenwert -1
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:00 Di 28.05.2013 | | Autor: | SaskiaCl |
ok noch einmal von vorne.
f ist diagonalisirbar wenn Mbb(f) Diagonalmatrix und Mbb(f) ist die Darstellungsmatrix von f bzgl. Basis von B
In unserem Fall ist B= [mm] R^{2x2} [/mm] und [mm] f(A)=A^{T} [/mm] oder ist B= [mm] L(EV_{-1},EV_{1}) [/mm] ? Wenn ja, dann muss ich den letzten schritt nur mit B ausführen, oder war der völlig falsch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Di 28.05.2013 | | Autor: | SaskiaCl |
Das was ich grade geschrieben habe ist falsch
[mm] f(\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 })=\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }=0*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }*(-1)*\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }+1*\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }*0*\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Ich weiss micht wie ich vorgehen muss um die Basis zufinden
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:16 Mi 29.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Nochmal von vorne: Sei [mm] M:=\IR^{2 \times 2}.
[/mm]
1, Ist B [mm] \in [/mm] M, so gilt
B=C+D, wobei [mm] C=\bruch{1}{2}(B+B^T) [/mm] und [mm] D=\bruch{1}{2}(B-B^T)
[/mm]
Also ist f(C)=C und f(D)=-D
Ich hab Dir ja schon gesagt, dass f die Eigenwerte 1 und -1 hat.
2. Sei [mm] M_1:=\{A \in M: A=A^T\} [/mm] und [mm] M_2:=\{A \in M: A=-A^T\}.
[/mm]
Zeige:
[mm] M=M_1 \oplus M_2.
[/mm]
3. Zeige:
der Eigenraum zum Eigenwert 1 ist [mm] M_1 [/mm] und der Eigenraum zum Eigenwert -1 ist [mm] M_2.
[/mm]
4. Zeige: [mm] dim(M_1)=3 [/mm] und [mm] dim(M_2)=1
[/mm]
5. Zeige: f ist diagonalisierbar und es gibt eine Basis von M betzügl. derer f die Abb.-Matrix
diag(1,1,1,-1)
hat.
FRED
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