diagonalisierbare 2X2 Matrizen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Welche der [mm] 2\times [/mm] 2-Matrizen mit Elementen in [mm] \mathbb{F}^2 [/mm] sind diagonalisierbar? |
Hallo,
also wie ich bei dieser Aufgabe vorgegangen bin:
Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie n-Eigenwerte hat, hier also 2. Es gibt in [mm] \mathbb{F}^2 [/mm] nur die Elemente 0 und 1, demnach müssen dies dann auch beide Eigenwerte sein, wenn die jeweilige Matrix diagonalisierbar ist.
Man hat [mm] 4^2=16 [/mm] Matrizen. Davon kann man dann doch einige schon vorher streichen, weil sie schon in Diagonalform sind oder? Ich meine damit die Matrizen: [mm] \begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0\\
0 & 1\end{pmatrix}, [/mm] die Einheitsmatrix [mm] \begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & 1\end{pmatrix} [/mm] und die Nullmatrix.
Oder muss ich die dennoch betrachten? Letztenendes hätte die Einheitsmatrix ja nur den Eigenwert 1.
Ich schreibe jetzt nur mal hin wie viele diagonalisierbar sind bzw. nicht sind:
Ich komme auf 4 bereits in Diagonalform vorliegenden Matrizen, 4 weitere sind diagonalisierbat und 8 nicht.
Vielleicht hat jemand Lust das nachzurechnen.
Passt das mit der Anzahl der diagonalisierbaren Matrizen?
Gruß Sleeper
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Hallo Sleeper,
> Welche der [mm]2\times[/mm] 2-Matrizen mit Elementen in [mm]\mathbb{F}^2[/mm]
> sind diagonalisierbar?
> Hallo,
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> also wie ich bei dieser Aufgabe vorgegangen bin:
> Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie n-Eigenwerte
> hat, hier also 2. Es gibt in [mm]\mathbb{F}^2[/mm] nur die Elemente
> 0 und 1, demnach müssen dies dann auch beide Eigenwerte
> sein, wenn die jeweilige Matrix diagonalisierbar ist.
Wie kommst Du darauf, daß [mm]\mathbb{F}^2[/mm] nur aus diesen beiden Elementen besteht? Ich finde leider keinen Hinweis auf den Grundkörper. Aber selbst wenn er nur aus 0 und 1 besteht, komme ich schon auf 4 Paare.
> Man hat [mm]4^2=16[/mm] Matrizen.
Warum? OK, Ähnlichkeit von Matrizen ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der quadratischen Matrizen; dann braucht man natürlich nur die "Vertreter" der Klassen auf Diagonalisierbarkeit zu prüfen.
Wenn man die andere Definition benutzt, wonach eine Matrix diagonalisierbar ist, wenn sie zu einer Diagonalmatrix ähnlich ist, dann sind sowieso schon Diagonalmatrizen diagonalisierbar  .
Gruß
zahlenspieler
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> Wie kommst Du darauf, daß [mm]\mathbb{F}^2[/mm] nur aus diesen
> beiden Elementen besteht?
Hallo,
ich bin mir sehr sicher, daß in sleepers Vorlesung mit [mm] \mathbb{F}_2 [/mm] der Körper mit zwei Elementen gemeint ist, und daß die 2 ihm nur versehentlich hochgerutscht ist.
Gruß v. Angela
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> Welche der [mm]2\times[/mm] 2-Matrizen mit Elementen in [mm]\mathbb{F}^2[/mm]
> sind diagonalisierbar?
> Hallo,
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> also wie ich bei dieser Aufgabe vorgegangen bin:
> Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie n-Eigenwerte
> hat, hier also 2.
Hallo,
Du formulierst hier schwammig.
Wenn sie zwei verschiedene Eigenwerte hat, ist sie ganz sicher diagonalisierbar.
Voraussetzung für die Diagonalisierbarkeit ist, daß es 2 nicht notwendigerweise verschiedene Eigenewerte gibt. Aber nicht jede der infrage kommenden Matrizen ist diagonalisierbar. (Dim der Eigenräume.)
> Es gibt in [mm]\mathbb{F}^2[/mm] nur die Elemente
> 0 und 1, demnach müssen dies dann auch beide Eigenwerte
> sein, wenn die jeweilige Matrix diagonalisierbar ist.
> Man hat [mm]4^2=16[/mm] Matrizen. Davon kann man dann doch einige
> schon vorher streichen, weil sie schon in Diagonalform sind
> oder? Ich meine damit die Matrizen: [mm]\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0\\
0 & 1\end{pmatrix},[/mm]
> die Einheitsmatrix [mm]\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & 1\end{pmatrix}[/mm]
> und die Nullmatrix.
Als Diagonalmatrizen sind das diagonalisierbare Matrizen.
> Ich schreibe jetzt nur mal hin wie viele diagonalisierbar
> sind bzw. nicht sind:
> Ich komme auf 4 bereits in Diagonalform vorliegenden
> Matrizen, 4 weitere sind diagonalisierbat
Ich habe auch 8 diagonalisierbare gefunden.
> Vielleicht hat jemand Lust das nachzurechnen.
Besser hättest Du ein bißchen etwas von den Gedanken und der Systematik, mit welcher Du untersucht hast, preisgegeben.
Gruß v. Angela
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> > Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie n-Eigenwerte
> > hat, hier also 2.
>
> Hallo,
>
> Du formulierst hier schwammig.
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> Wenn sie zwei verschiedene Eigenwerte hat, ist sie ganz
> sicher diagonalisierbar.
>
> Voraussetzung für die Diagonalisierbarkeit ist, daß es 2
> nicht notwendigerweise verschiedene Eigenewerte gibt
Also ist eine Matrix auch diagonalisierbar, wenn sie einen Eigenwert hat, der mehrfach ist, also z.B. [mm] \pmat{1&0\\0&1}. [/mm] Dann ist 1 zweifacher Eigenwert und das Ding ist logischerweise diagonalisierbar, da bereits in Diagonalform.
Gilt das immer?
Wir hatten in der Vorlesung nämlich gesagt, dass wenn eine quadr. Matrix A n-Eigenwerte hat (nicht vorausgesetzt, dass alle verschieden sind) es eine invertierbare Matrix P gibt, sodass [mm] PAP^{-1}=D [/mm] ist, wobei D die Diagonalmatrix ist.
Nochmal kurz zu der Vorgehensweise bei meiner ursprünglichen Aufgabe:
Ich habe jeweils von den einzelnen Matrizen das charakteristische Polynom berechnet und daraus die Eigenwerte errechnet.
Wenn ich jetzt beispielsweise die Matrix [mm] \pmat{0&0\\1&0} [/mm] betrachte. Dann erhalte ich als charakteristisches Polynom [mm] \lambda^2. [/mm] Wenn ich das nun gleich Null setze, würde ich sehen, das 0 ein zweifacher Eigenwert ist. Richtig? Dennoch ist diese Matrix doch nicht diagonalisierbar oder?
Gruß Sleeper
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> > > Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie n-Eigenwerte
> > > hat, hier also 2.
> >
> > Hallo,
> >
> > Du formulierst hier schwammig.
> >
> > Wenn sie zwei verschiedene Eigenwerte hat, ist sie ganz
> > sicher diagonalisierbar.
> >
> > Voraussetzung für die Diagonalisierbarkeit ist, daß es 2
> > nicht notwendigerweise verschiedene Eigenewerte gibt
>
> Also ist eine Matrix auch diagonalisierbar, wenn sie einen
> Eigenwert hat, der mehrfach ist,
Hallo,
nein, sie ist nicht diagonalisierbar, sie kann dann diagonalisierbar sein.
Diagonalisierbar ist sie, wenn die Dimension des Eigenraumes = der algebraischen Vielfachheit ist.Lies das mal nach.
> Wir hatten in der Vorlesung nämlich gesagt, dass wenn eine
> quadr. Matrix A n-Eigenwerte hat (nicht vorausgesetzt, dass
> alle verschieden sind) es eine invertierbare Matrix P gibt,
> sodass [mm]PAP^{-1}=D[/mm] ist, wobei D die Diagonalmatrix ist.
Nicht unbedingt, s. o.
>
> Nochmal kurz zu der Vorgehensweise bei meiner
> ursprünglichen Aufgabe:
> Ich habe jeweils von den einzelnen Matrizen das
> charakteristische Polynom berechnet und daraus die
> Eigenwerte errechnet.
Und dann wäre die Dimension der Eigenräume noch entscheidend bei doppelten Eigenwerten.
>
> Wenn ich jetzt beispielsweise die Matrix [mm]\pmat{0&0\\1&0}[/mm]
> betrachte. Dann erhalte ich als charakteristisches Polynom
> [mm]\lambda^2.[/mm] Wenn ich das nun gleich Null setze, würde ich
> sehen, das 0 ein zweifacher Eigenwert ist. Richtig? Dennoch
> ist diese Matrix doch nicht diagonalisierbar oder?
Völlig richtig.
Die alg. Vielfachheit des Eigenwertes ist =2, die Dimension des Eigenraumes jedoch nur =1.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:09 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Troeteli |
Huhu,
tut mir leid für die doofe Frage, leider hänge ich sehr hinterher was das Verstehen von allen Möglichen Sachen angeht...
Sitze nun auch schon länger an dieser Aufgabe aber irgendwie versteh ich nicht so richtig was so eine Matrix nun ausmacht.
Also ich habe nun von allen Matrizen die Eigenwerte ausgerechnet.
> Die alg. Vielfachheit des Eigenwertes ist =2, die Dimension
> des Eigenraumes jedoch nur =1.
dies habe ich auch getan komme aber leider auch nicht weiter, habe irgendwie wie immer ein Brett vorm Kopf.
Ja nun würde ich mich sehr freuen wenn mir das jemand mal an einem Beispiel erklären könnte, den Rest bekomm ich dann auch sicher selbst hin.... nur der anstupser fehlt.
Vielen Dank schonmal
Lieben Gruß
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Hallo,
ich hab die Aufgabe mittlerweile durchgerechnet und so viel steckt da eigentlich garnicht hinter.
> Huhu,
> Sitze nun auch schon länger an dieser Aufgabe aber
> irgendwie versteh ich nicht so richtig was so eine Matrix
> nun ausmacht.
Was meinst du damit. Das schöne an den Matrizen, die wir hier haben ist doch, dass alle Koeffizienten im [mm] \mathbb{F}_2 [/mm] sind, d.h. an der i,j-ten Stelle steht entweder eine 1 oder eine 0.
> Also ich habe nun von allen Matrizen die Eigenwerte
> ausgerechnet.
Damit hast du die Aufgabe schon so gut wie gelöst. Bei dieser Aufgabe ist es übrigens so, dass abgesehen von der Einheitsmatrix nur die Matrizen diagonalisierbar sind, die tatsächlich zwei verschiedene Eigenwerte haben, weil nur da die geometrische mit der algebraischen Vielfachheit übereinstimmt.
>
> > Die alg. Vielfachheit des Eigenwertes ist =2, die Dimension
> > des Eigenraumes jedoch nur =1.
>
> dies habe ich auch getan komme aber leider auch nicht
> weiter, habe irgendwie wie immer ein Brett vorm Kopf.
Naja wie gesagt, mehr musst du nicht machen. Ist geometrische Vielfachheit=algebraische Vielfachheit so ist die betrachtete Matrix diagonalisierbar.
>
> Ja nun würde ich mich sehr freuen wenn mir das jemand mal
> an einem Beispiel erklären könnte, den Rest bekomm ich dann
> auch sicher selbst hin.... nur der anstupser fehlt.
Ich hoffe, ich habe jetzt nicht an deinen Fragen "vorbeigeredet". Ansonsten frag nochmal nach.
>
> Vielen Dank schonmal
>
> Lieben Gruß
>
Gruß Sleeper
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:27 Di 26.05.2009 | | Autor: | Troeteli |
Huhuuu,
also danke erstmal für deine antwort :) hätte nicht gedacht dass so schnell was kommt :)
> > Also ich habe nun von allen Matrizen die Eigenwerte
> > ausgerechnet.
>
> Damit hast du die Aufgabe schon so gut wie gelöst. Bei
> dieser Aufgabe ist es übrigens so, dass abgesehen von der
> Einheitsmatrix nur die Matrizen diagonalisierbar sind, die
> tatsächlich zwei verschiedene Eigenwerte haben, weil nur da
> die geometrische mit der algebraischen Vielfachheit
> übereinstimmt.
>
Ja leider glaube ich mittlerweile dass ich nicht einmal im Stande bin die Eigenwerte der total einfachen Matrizen auszurechnen .... leider habe ich bei viel mehr als 8 Matrizen 2 verschiedene Eigenwerte raus :/
Ich weiß auch nich was ich da gemacht hab, anscheinend irgendwas falsches...
Ich glaub langsam, dass mir wirklich nicht mehr zu helfen is xD
Einene lieben Gruß
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> Ich glaub langsam, dass mir wirklich nicht mehr zu helfen
> is xD
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Fast jedem, der guten Willens ist, ist zu helfen.
Das Helfen fällt uns immer leichter, wenn wir etwas von den mißlungenen Rechnungen sehen. Damit können wir mehr anfangen als mit traurigen Geschichten, und außerdem erwarten wir ja lt. Forenregeln auch eigene Lösungsansätze.
Für die Vorgehensweise bei dieser Aufgabe sind mehrere Wege denkbar.
Ich halte mich jetzt an das, was Du geschrieben hattest: die 16 Matrizen aufstellen, charakteristisches Polynom ausfstellen, daraus Eigenwerte berechnen, und anschließend und Dimensionen der Lösungsräume bestimmen.
Ich mache das jetzt mal vor für drei Matrizen:
[mm] M_1=\pmat{ 1 & 1\\ 1 & 0}
[/mm]
Charakteristisches Polynom: [mm] \chi_1(x)=det(M_1-xE)=det\pmat{ 1-x & 1\\ 1 & 0-x}=(1-x)*(-x)-1 (=x^2-x-1= [/mm] (denn wir sind in [mm] \IF_2) x^2+x+1.) [/mm]
Also potentielle Nullstellen kommen ja nur 0 und 1 infrage.
Ich teste:
[mm] \chi_1(0)=1
[/mm]
[mm] \chi_1(1)=1
[/mm]
Keine Nullstelle, also kein Eigenwert, also nicht diagonalisierbar.
[mm] M_2=\pmat{ 1 & 1\\ 0 & 0}
[/mm]
Charakteristisches Polynom: [mm] \chi_2(x)=det(M_2-xE)=det\pmat{ 1-x & 1\\ 0 & 0-x}=(1-x)*(-x)
[/mm]
[mm] \chi_2(0)=0
[/mm]
[mm] \chi_2(1)=0
[/mm]
Zwei verschiedene Eigenwerte, diagonalisierbar
[mm] M_3=\pmat{ 1 & 1\\ 0 & 1}
[/mm]
Charakteristisches Polynom: [mm] \chi_3(x)=det(M_3-xE)=det\pmat{ 1-x & 1\\ 0 & 1-x}=(1-x)*(1-x)
[/mm]
[mm] \chi_2(0)=1
[/mm]
[mm] \chi_2(1)=0
[/mm]
1 ist Eigenwert.
Bestimmung der Dimension des Eigenraumes. Hierfür ist zu berechnen [mm] Kern(M_3-1*E)=kern M_3=kern \pmat{ 0 & 1\\ 0 & 0}.
[/mm]
Der Rang der Matrix =1, also ist die Dimension des Kerns= 2-1=1.
Nicht diagonalisierbar, denn es gibt keine Basis aus Eigenvektoren.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:00 Di 26.05.2009 | | Autor: | Troeteli |
Wow vielen Dank, habe meinen Fehler gefunden, habe bei dem charakteristischen Polynom vergessen, dass ich im F2 bin...
und ja gut nächstes mal werde ich euch meine Lösungsansätze antun. Dann gibts was zu lachen ;)
Also dann auf jeden Fall vielen Dank für die Hilfe
Einen lieben Gruß
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