die Zerlegungsformel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Do 05.06.2008 | | Autor: | Maus7 |
| Aufgabe | | f(x)=u(x)*v(x) mit zerlegungsformel zerlegen, rechte seite ausmultiplizieren, teile mit faktor r(x)*(x-x0)=R(est) der gegen 0 geht, Zerlegung f(x) u. u(x) * v(x) vergleichen --> Produktregel |
ich muss ein referat über die zerlegungsformel halten... mein problem ist nun, dass ich gar keine ahnung davon habe, was man mit der zerlegungsformel berechnet... oder wie ich die formel "f(x)= u(x)*v(x)" zerlegen kann... kann mir jemand helfen? ich bin echt verzweifelt.. mein lehrer hat mir einfach einen zettel mit der oben genannten aufgabenstellung gegeben ohne irgendetwas zu erklären.. ich habe schon (voller stolz) herausgefunden, dass die zerlegungsformel " f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+r(x)*(x-x0)" so aussieht..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Die Zerlegungsformel besagt: Ist eine Fkt. f differenzierbar, so kann f(x) angenähert werden durch
[mm] f(x)=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)+R, [/mm] wobei R gegen Null geht, wenn man sich mit x dem Wert [mm] x_0 [/mm] nähert.
Betrachte nun das Produkt f(x)=u(x)*v(x), wobei u und v differenzierbar sein sollen. Dann lassen sich u und v wie oben das f entsprechend schreiben als
[mm] u(x)=u(x_0)+u'(x_0)*(x-x_0)+R_1 [/mm] und
[mm] v(x)=v(x_0)+v'(x_0)*(x-x_0)+R_2.
[/mm]
Demnach wird das Produkt
[mm] u(x)*v(x)=(u(x_0)+u'(x_0)*(x-x_0)+R_1 )(v(x_0)+v'(x_0)*(x-x_0)+R_2)
[/mm]
[mm] =u(x_0)v(x_0)+u(x_0)v'(x_0)*(x-x_0)+u'(x_0)v(x_0)*(x-x_0)+u(x_0)*R_2+u'(x_0)*(x-x_0)*R_2+v(x_0)*R_1+v'(x_0)*(x-x_0)*R_1+R1*R2
[/mm]
[mm] =u(x_0)v(x_0)+(u(x_0)v'(x_0)+u'(x_0)v(x_0))*(x-x_0) +u(x_0)*R_2+u'(x_0)*(x-x_0)*R_2+v(x_0)*R_1+v'(x_0)*(x-x_0)*R_1+R1*R2
[/mm]
Weil nun aber u(x)*v(x)=f(x) ist, muss dieser letzte Ausdruck übereinstimmen mit
[mm] f(x)=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)+R.
[/mm]
Der Vergleich der rechten Seiten zeigt nun:
[mm] f(x_0)=u(x_0)v(x_0)
[/mm]
[mm] f'(x_0)*(x-x_0)=(u(x_0)v'(x_0)+u'(x_0)v(x_0))*(x-x_0)
[/mm]
[mm] R=+u(x_0)*R_2+u'(x_0)*(x-x_0)*R_2+v(x_0)*R_1+v'(x_0)*(x-x_0)*R_1+R1*R2, [/mm] weil bei Annäherung von x an [mm] x_0 [/mm] auch [mm] R_1 [/mm] und [mm] R_2 [/mm] und damit dieses R gegen 0 gehen.
Also ist auch f differenzierbar, und f' muss [mm] u(x_0)v'(x_0)+u'(x_0)v(x_0) [/mm] sein.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:12 Do 05.06.2008 | | Autor: | Nicodemus |
Hallo Maus7!
Deine Frage ist völlig unklar! Was Du "Zerlegungsformel" nennst, sieht so aus wie eine Taylor-Entwicklung. Was soll dann die Produktformel?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 05.06.2008 | | Autor: | Nicodemus |
Frage hat sich erledigt, da bereits eine Lösung vorliegt!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 So 08.06.2008 | | Autor: | Maus7 |
danke für die schnelle antwort, aber ich frage mich immernoch, was man mit der zerlegungsformel eigentlich ausrechnet... nachdem ich sämtliche bekannte, die halbwegs etwas von mathe verstehen gefragt habe und niemand auch nur das wort "zerlegungsformel" einmal gehört hat.. bin ich zu dem schluss gekommen, dass sie ziemlich unwichtig sein muss^^außerdem steht wirklich nirgends, was man eigentlich damit berechnet... wikipedia erzählt zwar fröhlich etwas von einer funktion (dem restglied) aber was die einem sagt, verschweigt wikipedia leider...
auch in meinem mathebuch wird zwar etwas von einer funktion gesagt von der die tangente abgezogen wird, aber mir ist nicht klar, was man davon für einen nutzen hat... Zusammengefasst heißt das also, dass ich keine ahnung von etwas habe, was nirgendwo auch nur erwähnt wird... (für die schnelle antwort bin ich trotzdem dankbar, nicht dass das hier noch falsch aufgefasst wird^^)
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> danke für die schnelle antwort, aber ich frage mich
> immernoch, was man mit der zerlegungsformel eigentlich
> ausrechnet... nachdem ich sämtliche bekannte, die halbwegs
> etwas von mathe verstehen gefragt habe und niemand auch nur
> das wort "zerlegungsformel" einmal gehört hat.. bin ich zu
> dem schluss gekommen, dass sie ziemlich unwichtig sein
> muss^^außerdem steht wirklich nirgends, was man eigentlich
> damit berechnet... wikipedia erzählt zwar fröhlich etwas
> von einer funktion (dem restglied) aber was die einem sagt,
> verschweigt wikipedia leider...
> auch in meinem mathebuch wird zwar etwas von einer funktion
> gesagt von der die tangente abgezogen wird, aber mir ist
> nicht klar, was man davon für einen nutzen hat...
> Zusammengefasst heißt das also, dass ich keine ahnung von
> etwas habe, was nirgendwo auch nur erwähnt wird... (für die
> schnelle antwort bin ich trotzdem dankbar, nicht dass das
> hier noch falsch aufgefasst wird^^)
Hallo Maus,
ich bin in Mathe auch schon einer der älteren Hasen, aber den
Ausdruck "Zerlegungsformel" habe ich hier zum ersten Mal
angetroffen. Dass sie unwichtig sei, möchte ich damit nicht
behaupten, aber sie läuft in der "mainstream"-Mathe eher unter
anderen Bezeichnungen.
HJKweseleit hat aber offenbar den Begriff gekannt und dir auch
eine präzise Erklärung gegeben.
Ich würde dir aber jedenfalls empfehlen, mit deinem Lehrer
nochmals zu sprechen, um genauer abzuklären, was denn der
Inhalt deines Referats sein soll. Es hätte ja wirklich keinen Sinn,
über etwas zu referieren, wovon man null (oder epsilon) Ahnung
hat.
Weitere Fragen sind aber jedenfalls im MatheRaum willkommen.
LG al-Chwarizmi
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