diffbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Sa 01.07.2006 | | Autor: | Gero |
| Aufgabe | Zeigen Sie das folgende Funktionen diffbar sind und berechnen Sie ihre Ableitungen.
a.) skalare Multiplikation [mm] M:\R^m \times \IR \to \IR^m [/mm] mit [mm] M(y,\beta):=?beta [/mm] cdot y
b.) euklidische Norm: [mm] r:\R^n \to \IR [/mm] mit r(x):= [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] für x [mm] \not= [/mm] 0 |
Hallo an alle,
Mal eine Frage hierzu. Reicht es eigentlich zu zeigen, dass die partiellen Ableitungen existieren? Ich mein, wenn dies gilt, folgt doch daraus, dass die Funktion diffbar ist, oder?
Die Ableitung von a.) wäre ja [mm] \pmat{ y_1 & \beta & ... & \beta y_1 \\ y_2 & \beta y_2 & ... & \beta y_2 \\ ...\\ y_m & \beta y_m & ... & \beta y_n}
[/mm]
Stimmt das so?
Danke für eure Antworten schonmal im voraus!
Grüße und noch ein schönes Wochenende!
Gero
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Sa 01.07.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
> Mal eine Frage hierzu. Reicht es eigentlich zu zeigen, dass die partiellen Ableitungen existieren? Ich mein, wenn dies gilt, folgt doch daraus, dass die Funktion diffbar ist, oder?
Nein, das ist so nicht richtig. Falls die partiellen Ableitungen existieren und stetig sind, dann ist die Abbildung differenzierbar. Das ist ein nützliches und häufig verwendetes Differenzierbarkeitskriterium. Die Umkehrung gilt i.A. nicht.
Weiterhin wichtig ist das Kriterium, dass eine Abbildung $f$ der offenen Teilmenge $U$ eines endlich-dimensionalen, normierten Raumes $X$ in den Raum [mm] $Y\times [/mm] Z$ für endlich-dimensionale normierte Räume $Y,Z$ genau dann in einem Punkt [mm] $a\in [/mm] U$ differenzierbar ist, wenn es die Projektionsabbildungen [mm] $p_Y\circ [/mm] f$ und [mm] $p_Z\circ [/mm] f$ sind.
Konkret für den [mm] $\IR^n$ [/mm] heißt das, dass du nur bei (a) die Komponentenfunktionen zu betrachten brauchst. Für jede von ihnen lässt sich die Stetigkeit der partiellen Ableitungen leicht nachweisen.
Liebe Grüße,
Hanno
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