diffbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Do 30.06.2011 | | Autor: | mwieland |
Hallo!
Wenn ich jetzt eine Funktion (zB an einer Nahtstelle) auf diffbarkeit überprüfen möchte, müssen dann an der stelle [mm] x_0 [/mm] der linksseitige und rechtsseitige limes ident sein oder nur existieren?
danke und lg
mark
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Do 30.06.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
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> Wenn ich jetzt eine Funktion (zB an einer Nahtstelle) auf
> diffbarkeit überprüfen möchte, müssen dann an der
> stelle [mm]x_0[/mm] der linksseitige und rechtsseitige limes ident
> sein oder nur existieren?
sie müssen sowohl existieren als auch identisch sein (ich gehe hier davon aus, dass Du, in natürlicher Weise, einen Häufungspunkt des Definitionsbereichs betrachtest). D.h. ist etwa [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] ein Häufungspunkt des Definitionsbereichs von [mm] $f\,$, [/mm] so sagen wir, dass, falls bzgl. der Funktion [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0$
[/mm]
(a) der linksseitige Differentialquotient (in [mm] $\IR$) [/mm] existiert, dann heiße er [mm] $=L\,$
[/mm]
(b) der rechtsseitige Differentialquotient (in [mm] $\IR$) [/mm] existiert, dann heiße er [mm] $=R\,.$
[/mm]
Dann gilt: Genau dann ist die Funktion [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] differenzierbar, wenn bzgl. [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] der Linksseitige Differentialquotient existiert (dann heißt der ja [mm] $L\,$) [/mm] und auch der rechtsseitige Differentialquotient existiert (dann heißt der ja [mm] $R\,$) [/mm] und zudem [mm] $L=R\,$ [/mm] gilt.
Kurz kann man das auch so formulieren:
[mm] $f\,$ [/mm] ist an [mm] $x_0$ [/mm] genau dann differenzierbar, wenn dort [mm] $L=R\,$ [/mm] gilt.
Dieser Satz macht deshalb Sinn, weil die Gleichung [mm] $L=R\,$ [/mm] dann und nur dann sinnvoll bzw. überprüfbar ist, wenn sowohl [mm] $L\,$ [/mm] als auch [mm] $R\,$ [/mm] existieren.
Zusammenfassend kannst Du also sagen:
[mm] $f\,$ [/mm] ist an [mm] $x_0$ [/mm] dann (und nur dann) diff'bar, wenn die beidseitigen Differentialquotienten dort übereinstimmen.
Existiert einer (im Sinne von mindestens einer!) der Differentialquotienten nicht, oder existieren beide, sind aber voneinander verschieden, dann (und nur dann) ist [mm] $f\,$ [/mm] an [mm] $x_0$ [/mm] nicht differenzierbar.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Mo 21.11.2011 | | Autor: | mwieland |
hallo
wenn ich jetzt zB folgende funktion habe:
f(x) = [mm] (x^{2}+1)*e^{\vmat{x-1}}
[/mm]
dann habe ich ja generell in x=1 als nahtstelle, also muss ich dort auf diffbarkeit überprüfen.
dann schau ich mir den linksseitigen grenzwert an (nennen wir ihn wieder mal L -gg-)
L = [mm] \limes_{x\rightarrow 1^{-}}\bruch{[(x^{2}+1)*e^{-x+1}]-2}{x-1}
[/mm]
und der rechtsseitige
R= [mm] \limes_{x\rightarrow 1^{+}} \bruch{[(x^{2}+1)*e^{x-1}]-2}{x-1}
[/mm]
und ich komme hier auf [mm] L\not=R, [/mm] hätte aber, wenn ich mir die extrema berechne, in x=1 mein minimum...
oder muss ich mir für jeden einzelnen fall der fallunterscheidung (sprich also für die 2 verschiedenen funktionen) jeweils den links- und rechtsseitigen limes anschauen?
wo liegt hier der fehler?
dank und lg markus
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Hallo mwieland,
> hallo
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> wenn ich jetzt zB folgende funktion habe:
>
> f(x) = [mm](x^{2}+1)*e^{\vmat{x-1}}[/mm]
>
> dann habe ich ja generell in x=1 als nahtstelle, also muss
> ich dort auf diffbarkeit überprüfen.
>
> dann schau ich mir den linksseitigen grenzwert an (nennen
> wir ihn wieder mal L -gg-)
>
> L = [mm]\limes_{x\rightarrow 1^{-}}\bruch{[(x^{2}+1)*e^{-x+1}]-2}{x-1}[/mm]
>
> und der rechtsseitige
>
> R= [mm]\limes_{x\rightarrow 1^{+}} \bruch{[(x^{2}+1)*e^{x-1}]-2}{x-1}[/mm]
>
> und ich komme hier auf [mm]L\not=R,[/mm] hätte aber, wenn ich mir
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> die extrema berechne, in x=1 mein minimum...
>
Die Funktionen links und rechts von x=1 haben kein lokales Extrema.
Das globale Extrema tritt jeweils nur am Rand, also x=1, auf.
> oder muss ich mir für jeden einzelnen fall der
> fallunterscheidung (sprich also für die 2 verschiedenen
> funktionen) jeweils den links- und rechtsseitigen limes
> anschauen?
>
> wo liegt hier der fehler?
>
> dank und lg markus
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Mo 21.11.2011 | | Autor: | mwieland |
ja schon, aber ich habe ja gerade festgestellt, dass die gesamtfunktion (also die mit betrag, im prinzip kombination aus 2 funktionen) im punkt x=1 nicht diffbar ist.
das kann doch dann unmöglich für die gesamtfunktion ein extremum sein oder?
wie gehe ich hier vor bzw. wie argumentiere ich heir mathematisch korrekt bzw. wie führe ich meine kurvendiskussion für meine gesamtfunktion durch?
dank und lg
markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:59 Di 22.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> ja schon, aber ich habe ja gerade festgestellt, dass die
> gesamtfunktion (also die mit betrag, im prinzip kombination
> aus 2 funktionen) im punkt x=1 nicht diffbar ist.
>
> das kann doch dann unmöglich für die gesamtfunktion ein
> extremum sein oder?
Warum denn nicht ? Die Funktion f(x):=|x| ist in 0 nicht differenzierbar, hat aber in 0 ihr absolutes Minimum
FRED
>
> wie gehe ich hier vor bzw. wie argumentiere ich heir
> mathematisch korrekt bzw. wie führe ich meine
> kurvendiskussion für meine gesamtfunktion durch?
>
> dank und lg
>
> markus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:11 Di 22.11.2011 | | Autor: | mwieland |
und wie komme ich rechnerisch darauf dass dies ein absolutes minimum ist? wenn ich die extrema durchdiskutiere, komme ich ja auf den punkt x=1 aufgrund der ersten ableitung, in diesem punkt ist die funktion nicht differenzierbar.
also muss ich ja zu aller erst mal davon ausgehen, dass im punkt x=1 kein extrempunkt vorliegt oder?
dank und lg
mark
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 Di 22.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> und wie komme ich rechnerisch darauf dass dies ein
> absolutes minimum ist? wenn ich die extrema
> durchdiskutiere, komme ich ja auf den punkt x=1 aufgrund
> der ersten ableitung, in diesem punkt ist die funktion
> nicht differenzierbar.
[mm] f(x)=(x^{2}+1)\cdot{}e^{|x-1|} [/mm] ist an der Stelle x=1 in der Tat nicht differenzierbar, aber stetig, mit f(1)=2
Wenn du dir die Funktion nun in die beiden durc die Betragsfunktion entstehende "Äste" aufteilst, ergibt sich
[mm]f(x)=\begin{cases} (x^{2}+1)\cdot{}e^{x-1}, & \mbox{fuer } x\geq1 \\
(x^{2}+1)\cdot{}e^{-(x-1)}, & \mbox{fuer } x<1\end{cases}[/mm]
Die beiden Teilfunktionen haben nun ihr Minimum bei der Randxtremstelle x=1
>
> also muss ich ja zu aller erst mal davon ausgehen, dass im
> punkt x=1 kein extrempunkt vorliegt oder?
>
> dank und lg
>
Marius
> mark
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Di 22.11.2011 | | Autor: | mwieland |
muss ich an so einer nahtstelle eigentlich auch auf die stetigkeit überprüfen?
wenn ja, wie mache ich das bzw. was bedeutet das für meine kurvendiskussion?
dank und lg
mark
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Mi 23.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> muss ich an so einer nahtstelle eigentlich auch auf die
> stetigkeit überprüfen?
Das macht meistens Sinn.
>
> wenn ja, wie mache ich das bzw. was bedeutet das für meine
> kurvendiskussion?
Stetig heisst, dass der Funktionswert an der Nahtstelle [mm] x_{n} [/mm] übereinstimmt, das erreicht man mit der Betrachtung von folgenden beiden Grenzwerten:
[mm] a=\lim_{h\to0}f(x_{n}+h) [/mm] und [mm] b=\lim_{h\to0}f(x_{n}-h)
[/mm]
Stimmen diese überein, ist die Funktion an der Stelle [mm] x_{n} [/mm] stetig, bzw., falls die Funktion an der Stelle [mm] x_{n} [/mm] nicht definiert war, mit [mm] f(x_{n}):=a [/mm] stetig fortsetzbar:
Beispiele:
[mm] f(x)=\frac{(x-1)(x^{2}+1)}{x-1}
[/mm]
Diese Funktion ist an der Stelle [mm] x_{n}=1 [/mm] nicht definiert, aber es gilt:
[mm] f(x)=\frac{(x-1)(x^{2}+1)}{x-1}=x^{2}+1
[/mm]
Nun gilt
[mm] \lim_{h\to0}f(1+h)=(1+h)^{2}+1=(1+0)^{2}+1=2
[/mm]
und
[mm] \lim_{h\to0}f(1-h)=(1-h)^{2}+1=(1-0)^{2}+1=2
[/mm]
Also stimmen die beiden Grenzwerte überein, und f(x) ist an der Stelle x=1 stetig fortsetzbar mit f(1):=2.
Beispiel 2:
[mm]f(n)=\begin{cases} -1, & \mbox{fuer } x <0 \\
1, & \mbox{fuer } x\geq0 \end{cases}[/mm]
Diese Funktion hat überall die Steigung 0, so dass man vermuten könnte, sie wäre auf ihrem kompletten Definitionsbereich differenzierbar. Aber an der Stelle x=0 gilt:
f(0)=1
Aber:
[mm] \lim_{h\to0}f(0-h)=\lim_{h\to0}f(-h)=-1
[/mm]
Und damit ist die für x=0 nicht stetig, kann daher dort auch nicht differenzierbar sein.
Beispiel 3:
f(x)=|x|
Hier gilt:
[mm] \lim_{h\to0}|0-h|=|0-0|=0
[/mm]
[mm] \lim_{h\to0}|0+h|=|0+0|=0
[/mm]
Also ist |x| an x=0 stetig.
>
> dank und lg
>
> mark
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Mi 23.11.2011 | | Autor: | mwieland |
> [mm]a=\lim_{h\to0}f(x_{n}+h)[/mm] und [mm]b=\lim_{h\to0}f(x_{n}-h)[/mm]
das [mm] x_{n} [/mm] ist in diesem fall die nahtstelle und das h im prinzip das normale x meiner f(x) oder?
dank und lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Mi 23.11.2011 | | Autor: | fred97 |
>
> > [mm]a=\lim_{h\to0}f(x_{n}+h)[/mm] und [mm]b=\lim_{h\to0}f(x_{n}-h)[/mm]
>
> das [mm]x_{n}[/mm] ist in diesem fall die nahtstelle
Ja
> und das h im
> prinzip das normale x meiner f(x) oder?
Was bedeutet denn "im Prinzip" ???
[mm] f(x_{n}-h) [/mm] ist der Funktionswert von f an der Stelle [mm] x_n-h
[/mm]
FRED
>
> dank und lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Mi 23.11.2011 | | Autor: | mwieland |
ja schon, aber was ist bzw. woher kommt das h?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Mi 23.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Vergleiche das mal mit der Definition der Differenzierbarkeit dort wird auch ein h eingeführt, das dann gegen Null läuft, um die Sekantensteigung in eine Tangentensteigung umzuwandeln. Und genau diese Konstruktion wird hier auch genutzt, um die Funktionswerte von links und rechts an die Nahtstelle heranzuführen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Mi 23.11.2011 | | Autor: | mwieland |
ich verwende für die diffbarkeit immer den differentialquotienten mti formel
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} [/mm] = [mm] \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}
[/mm]
kann ich dann das einfach so umschreiben (jetzt hier für den diff-quot) dass ich das x durch ein h austausche oder wie?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Mi 23.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ich verwende für die diffbarkeit immer den
> differentialquotienten mti formel
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}[/mm] =
> [mm]\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm]
>
> kann ich dann das einfach so umschreiben (jetzt hier für
> den diff-quot) dass ich das x durch ein h austausche oder
> wie?
Das wäre ja für die Differenzierbarkeit. Man kann auch die Beiden Punkte [mm] P(x_{0}/f(x_{0})) [/mm] und [mm] Q(x_{0}+h/f(x_{0}+h)) [/mm] nehmen, und dann mit [mm] \lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{(x_{0}+h)-x_{0}}
[/mm]
[mm] =\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}
[/mm]
den Punkt Q auf den Punkt P "rutschen" lassen.
Für Stetigkeit musst du, wie oben schon geschrieben, dass der an der Nahtstelle [mm] x_{n} [/mm] der von links angenäherte und der von rechts angenäherte Funktionswert übereinstimmen.
Und das erreiche ich, indem ich Zeige, dass
[mm] \lim_{h\to0}f(x_{n}-h)=\lim_{h\to0}f(x_{n}+h)
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 Mi 23.11.2011 | | Autor: | mwieland |
ah ok ich glaub ich habs, ich seltzte das [mm] x_{n}\pm [/mm] h einfach als funktionswert ein und lasse das h gegen 0 laufen und die beiden grenzwerte müssen übereinstimmen!
ok danke danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:17 Mi 23.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ah ok ich glaub ich habs, ich seltzte das [mm]x_{n}\pm[/mm] h
> einfach als funktionswert ein und lasse das h gegen 0
> laufen und die beiden grenzwerte müssen übereinstimmen!
>
> ok danke danke
So ist es.
Marius
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