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Hallo!
Ich habe im Internet ein Beispiel gefunden das mich verwirrt:
[mm]f_n(x)=\begin{cases} \frac{1}{x^{2n}}, & \mbox{für } x>1 \\ 2-x^{2n}, & \mbox{für } x\le1 \end{cases}\qquad n\in N[/mm]
Diese Funktion soll nun in abhängigkeit von n auf diffbarkeit getestet werden.
Nun steht hier, da die Ableitung eh für [mm] R\backslash\{1\} [/mm] stetig ist kann man f'(1) einfach berechnen indem man schaut ob links und rechtsseitiger Grenzwert der Ableitung an der Stelle 1 übereinstimmen.
Ich muss sagen das wundert mich jetzt schon, weil ich dachte, dass gerade die stetige diffbarkeit in 1 für diese vorgehensweise von nöten ist.
Ihr kennt nämlich sicher das Beispiel der Funktion:
[mm]f(n)=\begin{cases} x^2sin(\frac{1}{x}), & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}[/mm]
Wenn man hier die Ableitung in Null bildet sieht man, dass diese 0 ist, jedoch der Grenzwert gegen Null der Ableitungfunktion divergiert, also diese auch in 0 nicht stetig ist.
Ich dachte also, es braucht die Stetigkeit an der kritischen Stelle damit man die Funktionswertbildung mit der Grenzwertbildung vertauschen kann.
Könnte mir jemand genau erklären warum das auch ohne dem funktioniert?
Ich verstehe nämlich garnichts mehr...
Danke im Voraus!
Gruß
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 So 10.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Eine Funktion $f'$ ist ja gerade dann stetig in [mm] $x_{0}$, [/mm] wenn gilt
[mm] $\limes_{x\rightarrow x_{0}-}f'(x) [/mm] = [mm] f'(x_{0}) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}+}f'(x)$
[/mm]
Linke und rechte Seite sind im zweiten Beispiel nicht gleich, also kann keine Stetigkeit der Ableitung vorliegen. Im ersten Beispiel stimmen sie aber überein. Jetzt muss man technisch gesehen noch zeigen, dass auch der Differenzenquotient an der Stelle [mm] $x_{0}$ [/mm] gegen diesen Grenzwert konvergiert.
Das läuft mehr oder weniger auf die Frage hinaus, ob die folgenden Limiten vertauschen:
[mm] $\limes_{x\rightarrow x_{0}}f'(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}$
[/mm]
Hilft Dir das etwas weiter?
Gruß,
AT-Colt
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Hallo nochmal!
Danke AT-Colt, das hat mir schon sehr geholfen. Dann ist es aber im ersten Beispiel ja falsch, aleine von der stetigen Diffbarkeit in [mm]R\backslash\{1\}[/mm] und der Tatsache das links und rechtsseitiger Limes der Ableitung an der Stelle 1 übereinstimmen auf f'(1) zu schließen. Hatte ich also mit meiner Vermutung recht, dass man noch zusätzlich wissen müsste, dass die Funktion in 1 stetig diffbar ist?( Und wenn man das wissen sollte macht die Aufgabe ja eh nicht viel Sinn, weil wenn die Funktion stetig diffbar ist ist sie ja erst recht diffbar) Wiso wird es dann in diesem Bsp. so gemacht? (Übrigens findet ihr das Blatt sofort als doc Datei wenn ihr bei google"Aufgaben zum Nachweis der Differenzierbarkeit" eingebt.)
Wenn man jetzt ein konkretes Beispiel hat, würde man sich viel Arbeit sparen, wenn man nur an der Ableitungsfunktion Grenzwerte berechnen müsste.
Dann bleibt also nur die Möglichkeit links und rechtsseitige Ableitung mithilfe der Definition zu berechnen um die Diffbarkeit an der kritischen Stelle zu überprüfen?
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 So 10.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
> Hallo nochmal!
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> Danke AT-Colt, das hat mir schon sehr geholfen. Dann ist es
> aber im ersten Beispiel ja falsch, aleine von der stetigen
> Diffbarkeit in [mm]R\backslash\{1\}[/mm] und der Tatsache das links
> und rechtsseitiger Limes der Ableitung an der Stelle 1
> übereinstimmen auf f'(1) zu schließen. Hatte ich also mit
> meiner Vermutung recht, dass man noch zusätzlich wissen
> müsste, dass die Funktion in 1 stetig diffbar ist?( Und
> wenn man das wissen sollte macht die Aufgabe ja eh nicht
> viel Sinn, weil wenn die Funktion stetig diffbar ist ist
> sie ja erst recht diffbar) Wiso wird es dann in diesem Bsp.
> so gemacht?
Man kann es auf jeden Fall machen und sieht bei diesem Beispiel, dass die Ableitung dort stetig ist, also insgesamt stetig diffbar auf dem Definitionsbereich. Ich *vermute* stark, dass wenn links- und rechtsseitiger Limes der Ableitung übereinstimmen und die Funktion stetig ist, dann auch die Ableitung automatisch da stetig ist, den Beweis müsste ich mir aber selbst erstmal überlegen.
> Wenn man jetzt ein konkretes Beispiel hat, würde man sich
> viel Arbeit sparen, wenn man nur an der Ableitungsfunktion
> Grenzwerte berechnen müsste.
> Dann bleibt also nur die Möglichkeit links und
> rechtsseitige Ableitung mithilfe der Definition zu
> berechnen um die Diffbarkeit an der kritischen Stelle zu
> überprüfen?
Also in der Aufgabe fängst du am besten erstmal so an, die Ableitungen zu bilden und von links und rechts gegen den kritischen Punkt laufen zu lassen. Wenn die beiden Grenzwerte nicht gleich sind, bist Du sofort fertig, wenn doch, kannst Du sicherheitshalber nochmal den Differenzenquotienten am kritischen Punkt untersuchen.
Gruß,
AT-Colt
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Danke dir!
Mich würde jetzt der Beweis natürlich sehr interessieren...und Wahrscheinlich auch meinen Proseminarsleiter, wenn ich die Aufgabe so rechne
Also wenn irgendjemand eine Ahnung hat, warum man das so machen kann, bitte verratet es mir.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 12.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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