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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Mo 09.03.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
ich habe bei der herleitung der differenzialgleichung zum elektromagnetischen schwingkreis eine Frage und zwar wie man hier von der einen Zeile auf die andere kommt
http://www.dieter-heidorn.de/Physik/LK_AG/SchwingungenWellen/K2_ElmagSchwingungen/K2_ElmagSchwingungen.html
dieser Link Zeile 3,4 also von
"Da die Ladung auf dem Kondensator abnimmt, gilt"
zu "und damit" also warum da aufeinmal im zaähler [mm] d^2 [/mm] steht
kann da jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Kroni |
> Hallo,
> ich habe bei der herleitung der differenzialgleichung zum
> elektromagnetischen schwingkreis eine Frage und zwar wie
> man hier von der einen Zeile auf die andere kommt
> http://www.dieter-heidorn.de/Physik/LK_AG/SchwingungenWellen/K2_ElmagSchwingungen/K2_ElmagSchwingungen.html
> dieser Link Zeile 3,4 also von
> "Da die Ladung auf dem Kondensator abnimmt, gilt"
> zu "und damit" also warum da aufeinmal im zaähler [mm]d^2[/mm]
> steht
> kann da jemand helfen?
Hi,
mit [mm] $\frac{dI}{dt}$ [/mm] meint man eine Ableitung nach der Zeit, also sowas wie $f'(x)$, wenn man nach x ableitet. Also gilt:
[mm] $f'(x)=\frac{df}{dx}$.
[/mm]
Da steht ja, dass [mm] $I=-\frac{dQ}{dt}$, [/mm] und wenn man die Gleichung noch einmal ableitet, steht da:
[mm] $\frac{dI}{dt}=\frac{d}{dt}\frac{dQ}{dt}=\frac{d^2Q}{dt^2}$
[/mm]
Das ist genau das selbe, als wenn man jetzt $f'(x)$ noch einmal ableitet. Denn die Ableitung von $f'(x)$ ist ja nichts anderes als $f''(x)$.
Mehr wird dort nicht gemacht, als noch einmal abgeleitet. Und weil man eine Ableitung auch einfach als [mm] $\frac{d}{dx}$ [/mm] schreiben kann, wenn man nach x ableitet, steht da also:
1. Ableitung von f: [mm] $f'(x)=\frac{d}{dx}f=\frac{df}{dx}$ [/mm]
2. Ableitung von f ist die 1. Ableitung von $f'(x)$, also
[mm] $f''(x)=\frac{d}{dx}f'(x)=\frac{d}{dx}\frac{df}{dx}=\frac{d^2f}{dx^2}$
[/mm]
Noch eine kleine Anmerkung: Die n-te Ableitung einer Funktion f nach einer Variablen, zB x, schreibt man so:
[mm] $\frac{d^n f}{dx^n}$
[/mm]
Das ist dann nur die Schreibweise, warum man da oben dann das [mm] $d^2$ [/mm] schreibt. Mit der Schreibweise oben, sieht man auch, warum im Zähler [mm] $d^2$ [/mm] steht.
Ich hoffe, das hilft dir ein bisschen weiter.
Achso, man schreibt, weil es sich ja hier um zeitliche Ableitungen, also eine Funktion, die von der Zeit abhängt, auch gerne
[mm] $\frac{dI}{dt}=:\dot{I}$
[/mm]
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Mo 09.03.2009 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
aber weshalb wird das delta t im nenner quadratisch udn beim Q wird daraus die zweite Ableitung , müsste das delta i nicht auch die zweite ableitungs dann werden?
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Hallo noobo2,
> hallo,
> aber weshalb wird das delta t im nenner quadratisch udn
> beim Q wird daraus die zweite Ableitung , müsste das delta
> i nicht auch die zweite ableitungs dann werden?
Das ist lediglich die Leibniz'sche Schreibweise für die 2.Ableitung, im Nenner wird halt nicht $d^2t$ geschrieben, sondern [mm] $dt^2$
[/mm]
Allg. bezeichnet für die Funktion $Q(t)$ die Schreibweise [mm] $\frac{d^nQ(t)}{dt^n}$ [/mm] die n-te Ableitung (auch: [mm] $\frac{d^n}{dt^n}Q(t)$)
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mo 09.03.2009 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
heißt das ,dass es sich sowohl bei t als auch bei q um die zweite Ableitung handelt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:08 Di 10.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
nein, nicht ganz.
Es ist doch so, dass man, wie in deinem Fall, eine Funktion hat, die von einer Variablen, in dem Fall von t, der Zeit abhängt. Also Q ist eine Funktion der Zeit.
Jetzt ist es doch beim Ableiten immer so, dass man auch sagen muss, nach welcher Variablen man ableitet.
Wenn man, wie du es aus der Schule kennst, eine Funktion hat, beispielsweise f(x), und diese ableitet, dann leitet man diese ja wohl nach der Variablen x ab. D.h. $f'(x)$ bedeutet, dass man f nach x ableitet.
Wenn in deinem Fall da jetzt steht [mm] $\frac{d^2Q}{dt^2}$, [/mm] heißt es, dass man die zweite Ableitung von Q nach der Variablen, also der Zeit bildet.
Hast du z.B. eine Funktion $Q(t)$ , die zB so ausschaut: [mm] $Q(t)=at^2+bt+c$, [/mm] dann wäre die erste Ableitung
[mm] $\dot{Q}=\frac{dQ}{dt}=\frac{d}{dt}(at^2+bt+c)=2at+b$
[/mm]
Wenn man jetzt die zweite Ableitung von Q bildet, was ja mit der ersten Ableitung von [mm] $\frac{dQ}{dt}$ [/mm] übereinstimmt, so berechnet man
[mm] $\frac{d}{dt}\frac{dQ}{dt}=\frac{d}{dt}\dot{Q}=\frac{d}{dt}(2at+b)=2a$
[/mm]
D.h. die Schreibweise [mm] $\frac{d^2Q}{dt}$ [/mm] meint, dass man die Funktion $Q(t)$ einfach zweimal nach t ableitet. Das ist das analogon zu $f''(x)$, wenn f eine Funktion ist, die von x abhängt.
LG
Kroni
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