differenzierbare funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien I=[a,b] a<b ein Intervall und [mm] x_{0}\in [/mm] I ein Punkt. Die stetige Funktion [mm] f:I\to\IR [/mm] sei in [mm] I\backslash [x_{0}] [/mm] differenzierbar und es existiere der Grenzwert
[mm] \alpha:= \limes_{x\rightarrow x_{0}} [/mm] f´(x) [mm] \in\IR
[/mm]
Zeigen Sie: Die Funktion f ist in [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar und es gilt f´( [mm] x_{0} [/mm] )= [mm] \alpha [/mm] |
Ich weiss leider gar nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll und bin für jeden Ansatz dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Di 24.04.2007 | | Autor: | WalDare |
Eine Funktion f: I [mm] \to \IR [/mm] ist im Punkt [mm] x_0 [/mm] doch differenzierbar, wenn [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}f'(x) [/mm] existiert.
da [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}f'(x) := \alpha [/mm] ist, ist [mm]f[/mm] in [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar und [mm]f'(x_{0})=\alpha[/mm].
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> Eine Funktion f: I [mm]\to \IR[/mm] ist im Punkt [mm]x_0[/mm] doch
> differenzierbar, wenn [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}f'(x)[/mm]
> existiert.
Hallo,
nein, das stimmt so nicht.
Eine Funktion ist im Punkt [mm] x_0 [/mm] diffbar, wenn der Grenzwert $ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] $ existiert.
Was Du schreibst, soll ja für eine Funktion f, welche auf I stetig und auf I \ [mm] \{x_0\} [/mm] diffbar ist, erst gezeigt werden.
Gruß v. Angela
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> Seien I=[a,b] a<b ein Intervall und [mm]x_{0}\in[/mm] I ein Punkt.
> Die stetige Funktion [mm]f:I\to\IR[/mm] sei in [mm]I\backslash [x_{0}][/mm]
> differenzierbar und es existiere der Grenzwert
> [mm]\alpha:= \limes_{x\rightarrow x_{0}}[/mm] f´(x) [mm]\in\IR[/mm]
> Zeigen Sie: Die Funktion f ist in [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar
> und es gilt f´( [mm]x_{0}[/mm] )= [mm]\alpha[/mm]
Hallo,
Differenzierbarlkeit im Punkt [mm] x_0 [/mm] ist ja so erklärt:
der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] existiert.
Du mußt also herausfinden, ob es diesen Grenzwert gibt.
Setzt Du [mm] x_0 [/mm] ein, hast Du, da die Funktion stetig ist, die Situation [mm] \bruch{0}{0} [/mm] - ein Fall für die l'Hospital-Regel. Wendest Du diese nun an, bist Du nahezu fertig.
Gruß v. Angela
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