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Forum "Differenzialrechnung" - differenzierbarkeit grundlegen
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differenzierbarkeit grundlegen: grundlegende frage+stetigkeit
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:49 Do 15.02.2007
Autor: neuern

Aufgabe
Sind folgende Funktionen f:x->f(x) an der Stelle x0= 0 stetig bzw. differenzierbar?

f(x) = |x*(x-2)|

hi community..

Hab mal ne Frage zur obigen Aufgabe. Mein Problem ist eigentlich hauptsächlich, dass ich eifnach nicht unterscheiden kann, wann ich was für eine Rechentechnik einsetzen muss. Man soll ja auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit an dem Punkt x0 = 0 untersuchen. Nur wie?
Hoffentlich kommt es bei euch jetzt nich so rüber, als wär ich zu faul mir das selbst anzueignen oder sonst was, ich hab jetzt locker ne halbe stunde rumgesucht, nur mir wird es einfach nicht so richtig klar.
Könntet ihr das vll. mal am obigen beispiel mehr oder weniger ausführlich erklären, wie ich da jetzt auf stetigkeit und differenzierbarkeit prüfe?

Wäre euch sehr verbunden,
mfg neuern
        
Bezug
differenzierbarkeit grundlegen: erste Schritte: Stetigkeit
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 Do 15.02.2007
Autor: Loddar

Hallo neuern!


Für die MBStetigkeit an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] musst Du nachweisen, dass der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwerte an [mm] $x\rightarrow x_0$ [/mm] existieren und übereinstimmen. Zudem muss dieser Grenzwert auch mit dem entsprechenden Funktionswert [mm] $f(x_0)$ [/mm] übereinstimmen:

[mm] $\limes_{x\rightarrow x_0\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] f(x_0)$ [/mm]


Für  Deine Funktion solltest Du erst die Funktion in eine andere (= betragsfreie) Darstellung überführen. Dafür wenden wir die Definition der Betragsfunktion an:

[mm] |x|:=\begin{cases} -x, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ +x, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \end{cases} [/mm]


Wir haben also: $f(x) \ = \ |x*(x-2)| \ = \ |x|*|x-2|$

Damit ergibt sich durch eine entsprechende Fallunterscheidung (auf die ich hier nun nicht näher eingehe):

[mm] f(x)=|x*(x-2)|=|x|*|x-2|=\begin{cases} (-x)*[-(x-2)] \ = \ x*(x-2) \ = \ x^2-2x, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ (-x)*[+(x-2)] \ = \ -x*(x-2) \ = \ -x^2+2x, & \mbox{für } 0 \ \le \ x \ < \ 2 \mbox{ } \\ (+x)*[+(x-2)] \ = \ x*(x-2) \ = \ x^2-2x, & \mbox{für } 2 \ \le \ x \mbox{ } \end{cases} [/mm]


Betrachten wir nun als zunächst den linksseitigen Grenzwert; d.h. wir nähern uns aus dem negativen Bereich dem Wert [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ :

[mm] $\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}x^2-2x [/mm] \ = \ [mm] 0^2-2*0 [/mm] \ = \ 0$


Desgleichen nun für den rechtsseitigen Grenzwert:

[mm] $\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}-x^2+2x [/mm] \ = \ [mm] -0^2+2*0 [/mm] \ = \ 0 \ = \ f(0)$

Dies entspricht auch dem Funktionswert $f(0)_$ , da dieser Zweig der Funktion für $x \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ 0$ definiert ist.


Für die Differenzierbarkeit musst Du ähnlich vorgehen. Allerdings betrachtest Du nun den links- und rechtsseitigen Grenzwert für den MBDifferenzenquotienten:

[mm] $\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ [/mm]


Willst Du das nun mal probieren?


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
differenzierbarkeit grundlegen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:13 Do 15.02.2007
Autor: neuern

jap, werds mal probiern ;)

danke schonmal soweit :)
Bezug
                
Bezug
differenzierbarkeit grundlegen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 Do 15.02.2007
Autor: neuern

hmm.. also man muss sich ja auch von links und rechts nähern

also erstmal den differentialquotienten von x²-2 erstellen..(für die linksseitige annäherung, oder?

$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] $

nun gut, was setzt m an aber für f(x) ein?.. für f(x0) wird man ja, null einsetzen, oder?

und für f(x), die ganze funktion?, also x²-2?


Bezug
                        
Bezug
differenzierbarkeit grundlegen: nicht ganz ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:27 Do 15.02.2007
Autor: Loddar

Hallo neuern!


> hmm.. also man muss sich ja auch von links und rechts
> nähern

[ok]


  
> also erstmal den differentialquotienten von x²-2
> erstellen..(für die linksseitige annäherung, oder?

[notok] [ok] Fast  richtig, Du unterschlägst noch ein $x_$ : [mm] $x^2-2\red{x}$ [/mm] .



> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
>  
> nun gut, was setzt m an aber für f(x) ein?.. für f(x0) wird
> man ja, null einsetzen, oder?

[ok] Genau, es gilt ja: [mm] $f(x_0) [/mm] \ = \ f(0) \ = \ 0$ .

  
> und für f(x), die ganze funktion?, also x²-2?

Wie oben geschrieben: mit dem $x_$ hintendran ...


[mm] $\limes_{x\rightarrow x_0\uparrow}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\bruch{x^2-2x-0}{x-0} [/mm] \ = \ ...$


Gruß
Loddar

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Bezug
differenzierbarkeit grundlegen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:34 Do 15.02.2007
Autor: neuern

ok, habs jetzt folgendermaßen gemacht:

$ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0\uparrow}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\bruch{x^2-2x-0}{x-0} [/mm] \ = \ ... $  0


für den rechtseitigen wert:

$ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0\uparrow}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\bruch{-x^2+2x-0}{x-0} [/mm] \ = \ ... $  0


ist somit an der stelle x0=0 differenzierbar... richtig?
Bezug
                                        
Bezug
differenzierbarkeit grundlegen: falscher GW
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:01 Do 15.02.2007
Autor: leduart

Hallo
> ok, habs jetzt folgendermaßen gemacht:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0\uparrow}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \ = \ \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} \ = \ \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\bruch{x^2-2x-0}{x-0} \ = \ ...[/mm]

Du hast einfach =0 geschrieben, ohne zu rechnen oder zu denken!
es gilt aber:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\bruch{x^2-2x-0}{x-0}=\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}(x-2-0) [/mm] =-2  

>  0
>  
>
> für den rechtseitigen wert:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0\uparrow}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \ = \ \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} \ = \ \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\bruch{-x^2+2x-0}{x-0} \ = \ ...[/mm]
>  0

Fehler wie oben! jetzt +2
also verschieden, also nicht diffb.!
Um so dumme Fehler zu vermeiden solltest du die Funktion erst skizzieren.
1. Schritt, mal die Parabel [mm] y=x^2-2x [/mm]  (da die 2 Nst leicht sind, schnellskizziert.
2. den Betrag:alles was unter der x-achse ist nach oben klappen! jetzt solltest du sehen, dass die fkt bei x=0 und x=2 stetig ist, (sie springt nicht oder so)
und dass sie nen scharfen Knick hat, also sicher nicht diff.bar.
Das musst du dann immer noch schoen als Beweis aufschreiben, aber was man weiss ist leichter ohne Fehler zu machen.Und dass die Steigung bei x=0 nicht 0 ist sieht man auch!
Gruss leduart
> ist somit an der stelle x0=0 differenzierbar... richtig?

Bezug
                                                
Bezug
differenzierbarkeit grundlegen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:18 Do 15.02.2007
Autor: neuern

ok habs mal aufgezeichnet.. sieht jetz aus wie ne parabel.. nur das eben die "spitze" )damit mein ich den unteren teil^^) - nach oben über die x-achse geklappt ist.


nur eine frage hab ich noch(ja, hast noch nicht feierabend :D )

du hast geschrieben, dass man folglich auch sieht, dass die steigung an x= 0  ... nicht 0 sei.
Aber an dem punkt x=0 , kommt der graph ja sozusagen an, also er macht einen scharfen knick und geht dann wieder weiter.. , also wie sollte man an dem punkt selbst eine steigung erkennen bzw nicht erkennen?

edit: hab die funktion mal schnell in turboplot gezeichnet :

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                        
Bezug
differenzierbarkeit grundlegen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:54 Do 15.02.2007
Autor: leduart

Hallo
Genau richtig: das hab ich gemeint, du siehst die Steigung links negativ -2 rechts pos. +2 also keinesfalls 0  und nicht diffb.
und die fkt selbt ohne|| hat steigung -2 also auch nicht 0
Gruss leduart
Bezug
                
Bezug
differenzierbarkeit grundlegen: Hallo, Loddar!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:29 Do 15.02.2007
Autor: Zwerglein

Hi, Loddar,

hab' Dich lange nicht mehr verbessern müssen, genieße daher diesen Augenblick! [biggrin] [happy] :-)

> [mm]f(x)=|x*(x-2)|=|x|*|x-2|=\begin{cases} (-x)*[-(x-2)] \ = \ x*(x-2) \ = \ x^2-2x, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ (-x)*[+(x-2)] \ = \ -x*(x-2) \ = \ -x^2+2x, & \mbox{für } 0 \ \le \ x \ < \ 2 \mbox{ } \\ (+x)*[+(x-2)] \ = \ x*(x-2) \ = \ x^2+2x, & \mbox{für } 2 \ \le \ x \mbox{ } \end{cases}[/mm]

Letzte Zeile: Rechenzeichen Minus statt Plus! [mm] x^{2} [/mm] - 2x.

Das war's auch schon!

Servus!

mfG!
Zwerglein


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