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Hallo Leute,
ich hätte mal ne Frage. Ich bin gerade dabei eine Übungsaufgabe zu lösen und da steht, dass wir:
dim V = dim U + dim W [mm] \gdw [/mm] V = U [mm] \oplus [/mm] W
benutzen dürfen. Mich würde jetzt interessieren was ist dieses [mm] \oplus [/mm] bedeutet und was diese Äquivalenz aussagt?
Beste Grüße und ein fettes Danke im Vorraus 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 So 15.05.2011 | | Autor: | JigoroKano |
achso ganz vergessen, was mich daran so verwundert:
U, W sollen UVR sein... das ist was ich daran nicht verstehe :P> Hallo Leute,
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> ich hätte mal ne Frage. Ich bin gerade dabei eine
> Übungsaufgabe zu lösen und da steht, dass wir:
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> dim V = dim U + dim W [mm]\gdw[/mm] V = U [mm]\oplus[/mm] W
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> benutzen dürfen. Mich würde jetzt interessieren was ist
> dieses [mm]\oplus[/mm] bedeutet und was diese Äquivalenz aussagt?
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> Beste Grüße und ein fettes Danke im Vorraus
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> Hallo Leute,
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> ich hätte mal ne Frage. Ich bin gerade dabei eine
> Übungsaufgabe zu lösen und da steht, dass wir:
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> dim V = dim U + dim W [mm]\gdw[/mm] V = U [mm]\oplus[/mm] W
>
> benutzen dürfen. Mich würde jetzt interessieren was ist
> dieses [mm]\oplus[/mm] bedeutet und was diese Äquivalenz aussagt?
Hallo,
[mm] V=U\oplus [/mm] W bedeute, daß V die direkte Summe von U und V ist.
Dies bedeutet: V=U+W und der Schnitt von U und W enthält nur den Nullvektor.
Die Äquivalenz sagt:
wenn man zwei Unterraume U und W von V hat, und die Summe ihrer Dimensionen gerade die Dimension von V ist, dann ist V die Summe dieser Untervektorräume, und die Summe ist direkt.
Und umgekehrt.
Nur leider ist die Richtung "==>" falsch.
Gibt es irgendwelche Voraussetzungen, die Du unterschlägst?
Gruß v. Angela
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Das ist ja lustig, dann ist mal wieder ein unser zettel falsch?! :D :D
heißt das es gilt nur: dimV = dim U + dim W => V=U [mm] \oplus [/mm] W ?
Und weshalb gilt das?!
beste grüße :)
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Moin,
> Das ist ja lustig, dann ist mal wieder ein unser zettel
> falsch?! :D :D
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> heißt das es gilt nur: dimV = dim U + dim W => V=U [mm]\oplus[/mm] W ?
Diese Richtung ist gerade diejenige, die nicht zwingend Gültigkeithaben muss.
Betrachte etwa [mm] U=W:=Span(e_1) [/mm] als Untervektorräume des [mm] \IR^2.
[/mm]
Dann gilt [mm] $\dim\IR^2=2=\dim U+\dim [/mm] W=1+1$, aber offensichtlich nicht [mm] $V=U\oplus [/mm] W$, denn [mm] $U\oplus W=U\neq \IR^2$
[/mm]
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> Und weshalb gilt das?!
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> beste grüße :)
LG
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> heißt das es gilt nur: dimV = dim U + dim W => V=U [mm]\oplus[/mm]W ?
Hallo,
wie mein Vorredner sagt: die umgekehrte Richtung gilt.
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> Und weshalb gilt das?!
Der Ball geht an Dich zurück. Das solltest Du zu beweisen versuchen.
Deine versuche schauen wir gerne an.
Gruß v. Angela
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