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Hallo zusammen,
ich verstehe den Unterschied zwischen diskret und abzählbar um ehrlich zu sein nicht so ganz. Ich dachte bisher, das sei das gleiche :(
Kann mir jemand ein Beispiel geben?
Hab da noch ne Frage: ist eine diskrete Teilmenge von [mm] \IC [/mm] immer abzählbar?
Wenn ja, wie könnte ich das beweisen?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Di 02.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
> ich verstehe den Unterschied zwischen diskret und
> abzählbar um ehrlich zu sein nicht so ganz. Ich dachte
> bisher, das sei das gleiche :(
> Kann mir jemand ein Beispiel geben?
Def.: Eine Menge A [mm] \subset \IC [/mm] heißt diskret in [mm] \IC, [/mm] wenn A keine Häufungspunkte in [mm] \IC [/mm] hat.
In diesem Fall ist A höchstens abzählbar.
So ist z.B. [mm] \IN [/mm] diskret in [mm] \IC
[/mm]
Sei $A:= [mm] \{1/n: n \in \IN \}$ [/mm] . Dann ist A abzählbar, aber nicht diskret in [mm] \IC, [/mm] denn A hat den Häufungspunkt 0
>
> Hab da noch ne Frage: ist eine diskrete Teilmenge von [mm]\IC[/mm]
> immer abzählbar?
Ja, sie ist endlich oder abzählbar unendlich
> Wenn ja, wie könnte ich das beweisen?
Sei A eine in [mm] \IC [/mm] diskrete Teilmenge. Setze [mm] $A_n [/mm] := A [mm] \cap \{z \in \IC: |z| \le n \}$ [/mm] (n [mm] \in \IN)
[/mm]
Dann ist jedes [mm] A_n [/mm] beschränkt
Kann [mm] A_n [/mm] unendlich viele Elemente enthalten ? Nein, denn anderenfalls hätte [mm] A_n [/mm] , und damit auch A, eine Häufungspunkt ! (Bolzano-Weierstraß)
Also ist jedes [mm] A_n [/mm] höchstens endlich . Somit ist A höchstens abzählbar (warum ?)
FRED
>
> Vielen Dank!
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Erstmal vielen vielen vielen Dank!!! Mir ist aber noch was nicht klar:
> > Hab da noch ne Frage: ist eine diskrete Teilmenge von [mm]\IC[/mm]
> > immer abzählbar?
>
> Ja, sie ist endlich oder abzählbar unendlich
>
> Sei A eine in [mm]\IC[/mm] diskrete Teilmenge. Setze [mm]A_n := A \cap \{z \in \IC: |z| \le n \}[/mm]
> (n [mm]\in \IN)[/mm]
> Dann ist jedes [mm]A_n[/mm] beschränkt
> Kann [mm]A_n[/mm] unendlich viele Elemente enthalten ? Nein, denn
> anderenfalls hätte [mm]A_n[/mm] , und damit auch A, eine
> Häufungspunkt ! (Bolzano-Weierstraß)
Warum hat dann auch A einen Häufungspunkt?
> Also ist jedes [mm]A_n[/mm] höchstens endlich . Somit ist A
> höchstens abzählbar (warum ?)
Ja, warum?
Es tut mir wirklich sehr leid, aber das verstehe ich noch nicht. Ich würde sicher noch länger drüber nachdenken, wenn ich die Antwort nicht schon bis morgen bräuchte :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:52 Mi 03.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal vielen vielen vielen Dank!!! Mir ist aber noch was
> nicht klar:
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> > > Hab da noch ne Frage: ist eine diskrete Teilmenge von [mm]\IC[/mm]
> > > immer abzählbar?
> >
> > Ja, sie ist endlich oder abzählbar unendlich
> >
> > Sei A eine in [mm]\IC[/mm] diskrete Teilmenge. Setze [mm]A_n := A \cap \{z \in \IC: |z| \le n \}[/mm]
> > (n [mm]\in \IN)[/mm]
> > Dann ist jedes [mm]A_n[/mm] beschränkt
> > Kann [mm]A_n[/mm] unendlich viele Elemente enthalten ? Nein, denn
> > anderenfalls hätte [mm]A_n[/mm] , und damit auch A, eine
> > Häufungspunkt ! (Bolzano-Weierstraß)
>
> Warum hat dann auch A einen Häufungspunkt?
Wenn [mm] A_n [/mm] den Häufungspunkt [mm] z_0 [/mm] hat, so bedeutet dies: in jeder Umgebung von [mm] z_0 [/mm] liegen unendlich viele Elemente aus [mm] A_n. [/mm] Da [mm] A_n [/mm] Teilmenge von A ist, folgt: in jeder Umgebung von [mm] z_0 [/mm] liegen unendlich viele Elemente aus A. Damit ist [mm] z_0 [/mm] HP von A
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> > Also ist jedes [mm]A_n[/mm] höchstens endlich . Somit ist A
> > höchstens abzählbar (warum ?)
>
> Ja, warum?
Es ist doch $A= [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$
[/mm]
Eine abzählbare Vereinigung endlicher Mengen ist abzählbar !!!
FRED
> Es tut mir wirklich sehr leid, aber das verstehe ich noch
> nicht. Ich würde sicher noch länger drüber nachdenken,
> wenn ich die Antwort nicht schon bis morgen bräuchte :(
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Danke Fred, Du warst heute meine Rettung!
Liebe Grüße
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