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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Mi 05.01.2005 | | Autor: | VHN |
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Hallo, alle zusammen!
Ich hab hier eine Aufgabe gelöst, aber ich weiß nicht, ob sie stimmt. Vielleicht könnt ihr mir ja helfen!
Das ist die Aufgabe:
[mm] \bruch{1}{2} (e^{ix} [/mm] + [mm] e^{-ix}) [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{2} x^{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{24} x^{4} [/mm] + [mm] o(x^{4}) [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0.
Und das ist meine Lösung:
[mm] e^{ix} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(ix)^{k}}{k!} [/mm]
= 1 + ix - [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] - [mm] \bruch{ix^{3}}{6} [/mm] + [mm] \bruch{x^{4}}{24} [/mm] + [mm] o(x^{4})
[/mm]
[mm] e^{-ix} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-ix)^{k}}{k!} [/mm]
= 1 - ix - [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{ix^{3}}{6} [/mm] + [mm] \bruch{x^{4}}{24} [/mm] + [mm] o(x^{4})
[/mm]
[mm] e^{ix} [/mm] + [mm] e^{-ix}= [/mm] 2 - [mm] x^{2} [/mm] + [mm] \bruch{x^{4}}{12} [/mm] + [mm] o(x^{4}) [/mm] + [mm] o(x^{4}) [/mm]
[mm] \bruch{1}{2} (e^{ix} [/mm] + [mm] e^{-ix}) [/mm] = 1 - [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{x^{4}}{24} [/mm] + [mm] o(x^{4})
[/mm]
wobei gilt: [mm] o(x^{4}) [/mm] + [mm] o(x^{4}) [/mm] = [mm] o(x^{4}) [/mm]
Ist mein Ansatz richtig?
Ich hätte aber noch ein paar zusätzliche Fragen.
Wenn [mm] o(x^{4}) [/mm] dasteht, kann ich dann immer die Potenzreihenentwicklung von e nach dem [mm] x^{4}-Glied [/mm] abschneiden? Gilt das aber nur für x [mm] \to [/mm] 0, oder auch für Fälle, wo x gegen etwas anderes konvergiert?
Danke für eure Hilfe!
Ciao
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Hallo,
sieht gut aus, was Du da geschrieben hast - ich habe keinen Fehler gesehen.
Wenn Du [mm] $o(x^{4}$ [/mm] hast, wird das zusammen mit [mm] $x^4$ [/mm] gegen 0 gehen.
Falls Du den Cosinus jedoch um z.B. [mm] $\bruch{\pi}{2}$ [/mm] entwickels und nicht um 0, wie Du es getan hast, erhältst Du [mm]cos(x)=-(x-\bruch{\pi}{2})+\bruch{(x-\bruch{\pi}{2})^{3}}{3!}+o((x-\bruch{\pi}{2})^{5})[/mm].
Das geht dann eben mindestens so schnell gegen 0 wie [mm] $(x-\bruch{\pi}{2})^{5}$.
[/mm]
Gruß,
Peter
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