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| Aufgabe | Warum ist [mm] e^{-2aix}=1 [/mm] für a in [mm] \IR, [/mm] x in [0,t] und t>0
bzw.
[mm] e^{-2ai(t-x)} [/mm] = 1 für a in [mm] \IR, [/mm] x in [t,0] und t<0 |
Diese Aufgabe, bzw. Frage stellt sich mir, beim betrachten einer Musterlösung, die ich vor mir liegen habe. Kann mir da jmd. weiterhelfen? Wäre nett. wenn mir da einer weiterhelfen könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Jaqueline1980!
> Warum ist [mm]e^{-2aix}=1[/mm] für a in [mm]\IR,[/mm] x in [0,t] und t>0
> bzw.
> [mm]e^{-2ai(t-x)}[/mm] = 1 für a in [mm]\IR,[/mm] x in [t,0] und t<0
> Diese Aufgabe, bzw. Frage stellt sich mir, beim betrachten
> einer Musterlösung, die ich vor mir liegen habe. Kann mir
> da jmd. weiterhelfen? Wäre nett. wenn mir da einer
> weiterhelfen könnte.
Ist ja lustig, eine sehr ähnliche Frage wollte ich auch gerade stellen. Allerdings ist bei mir folgender Umformungsschritt gemacht worden:
[mm] $\int_{\IR}u|e^{2\pi i\omega u}(g(u-t)|^2\:du=\int_{\IR}u|g(u-t)|^2\:du$
[/mm]
und daneben steht: [mm] |e^{2\pi i\omega u}|=1.
[/mm]
Wenn [mm] \omega [/mm] und $u$ ganze Zahlen wären, dann wäre das ja klar, aber so? Ich habe das gerade mal mit dem Taschenrechner ausprobiert und bin eigentlich der Meinung, dass es gar nicht stimmt, aber dann passt ja die ganze Lösung nicht. ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Habe einen dummen Fehler gemacht. Dank der Mitteilung von Bastiane ist mir aufgefallen, dass ich die Betragsstriche übersehen habe (sahen so aus wie Klammern).
also nochmals, damit es hier korrekt steht:
[mm] \left| e^{-2aix} \right| [/mm] = [mm] \left| e^0 (cos (-2ax) + i sin(-2ax)) \right| [/mm] = [mm] \left| (cos (-2ax) + i sin(-2ax)) \right|
[/mm]
So und der Betrag ist, wie schon Bastiane richtig sagte die Wurzel der Summe der Quadrate von Real- und Imaginärteil.
und das ist eben:
[mm] cos^2 [/mm] (-2ax) + [mm] sin^2 [/mm] (-2ax) = 1
- Oh man, warum einfach wenn es auch leicht geht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:54 Di 29.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jaqueline,
ja, man kann das mit dem trigonometrischen Pythagoras beweisen. Man kann das aber auch anders begründen:
Man begründet kurz, dass [mm] $\overline{\exp(z)}=\exp(\overline{z})$ [/mm] für komplexes $z$ (z.B. mittels der Reihe [mm] $\exp(z)=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}$) [/mm] und dann gilt [mm] $|z|^2=z*\overline{z}$.
[/mm]
Daraus ergibt sich für $z=i*x$ mit $x [mm] \in \IR$ [/mm] und der Funktionalgleichung von $z [mm] \mapsto \exp(z)$:
[/mm]
[mm] $|\exp(i*x)|^2=\exp(i*x)*\overline{\exp(i*x)}=\exp(i*x)*\exp(\overline{i*x})=\exp(i*x)*\exp(-i*x)=\exp(i*x-i*x)=\exp(0)=1$
[/mm]
Man sollte diese zwei Dinge übrigens immer im Hinterkopf haben:
Für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt:
(i) [mm] $|\exp(i*x)|=1$
[/mm]
(ii) [mm] $\exp(i*x)=\cos(x)+i*\sin(x)$
[/mm]
(Also [mm] $Re(\exp(i*x))=\cos(x)$ [/mm] und [mm] $Im(\exp(i*x))=\sin(x)$.)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | | [mm] \lim_{a \to \infty} \integral_{-a}^{a}{e^{-(-x+it)^2} dx} [/mm] = [mm] \lim_{a \to \infty}\integral_{-a}^{a}{e^{-(x+it)^2} dx} [/mm] |
Hier stehe ich erstmal vor einem ähnliches Problem. Kann mir einer einen Tipp geben, oder einen Denkanstoß. Hier fehlen definitiv keine Betragsstriche !!!! 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:55 Di 29.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]\lim_{a \to \infty} \integral_{-a}^{a}{e^{-(-x+it)^2} dx}[/mm] =
> [mm]\lim_{a \to \infty}\integral_{-a}^{a}{e^{-(x+it)^2} dx}[/mm]
>
> Hier stehe ich erstmal vor einem ähnliches Problem. Kann
> mir einer einen Tipp geben, oder einen Denkanstoß. Hier
> fehlen definitiv keine Betragsstriche !!!!
Mache im linken Integral die Substitution [mm]x\mapsto -x[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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