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hallO!!
zuerst möchte ich nur wissen, ob die ableitungen richtig sind. dem rest wende ichich morgen zu und poste es dann.
f'(x) = [mm] e^x [/mm] *(x-1)
f''(x) = [mm] e^x [/mm] *x
f'''(x) = [mm] e^x [/mm] *(x+1)
mfg
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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hallo!!
hier nun meine anderen ergebnisse zu dieser aufgabe:
1a) die nullstelle ist bei x=2, Extremum E (1/-e), Wendepunkt W ((0/-2)
1b) naja hab es halt gemacht!:)
1c) die wendenormale schneidet die x-achse bei x=2
1d) F(x) = [mm] e^x [/mm] *(x-3) + c
1e) A= 4,39 FE
1f) hier benötige ich hilfe! ich weiß nur,dass es eine extremwertaufgabe ist und man dann die 1. ableitung benötigt. weiterhin kann (bzw. könnte ich,wenn ich das z hätte)ich auch die fläche ausrechnen.
nur leider weiß ich nicht, wie man aus das z kommt?!?
bitte um hilfe
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Fr 14.10.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo,
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> hier nun meine anderen ergebnisse zu dieser aufgabe:
>
> 1a) die nullstelle ist bei x=2, Extremum E (1/-e),
> Wendepunkt W ((0/-2)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 1b) naja hab es halt gemacht!:)
> 1c) die wendenormale schneidet die x-achse bei x=2
Sieh dir mal die Zeichnung an. Dann siehst du, dass das Vorzeichen nicht stimmt. x= -2.
> 1d) F(x) = [mm]e^x[/mm] *(x-3) + c
> 1e) A= 4,39 FE
Auch hier habe ich ein anderes Ergebnis.
> 1f) hier benötige ich hilfe! ich weiß nur,dass es eine
> extremwertaufgabe ist und man dann die 1. ableitung
> benötigt. weiterhin kann (bzw. könnte ich,wenn ich das z
> hätte)ich auch die fläche ausrechnen.
> nur leider weiß ich nicht, wie man aus das z kommt?!?
> bitte um hilfe
Du brauchst hier die Zielfunktion, die das Volumen des Ratationskörpers beschreibt.
Der Rotationskörper entsteht, wenn du die Gerade durch B und C im Intervall [z; 2 [ um die x-Achse rotieren lässt.
Ich schreibe mal nicht mehr, weil ich vermute, dass du damit schon klarkommst. Wenn nicht, melde dich bitte.
>
Gruß
Sigrid
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> > 1c) die wendenormale schneidet die x-achse bei x=2
>
> Sieh dir mal die Zeichnung an. Dann siehst du, dass das
> Vorzeichen nicht stimmt. x= -2.
also ich habe mir bei einem freund die funktion mal dann von einem programm zeichnen lassen (weil ich nicht den fehler fand) und da geht die wendenormale auch durch x=2. aber die wendetangente geht durch x=-2. bringe ich jetzt was durcheinander oder wo ist mein denkfehler?!
> > 1e) A= 4,39 FE
>
> Auch hier habe ich ein anderes Ergebnis.
welches denn? ich habe nochmal nachgerechnet und komme wieder auf das selbe...
> Du brauchst hier die Zielfunktion, die das Volumen des
> Ratationskörpers beschreibt.
> Der Rotationskörper entsteht, wenn du die Gerade durch B
> und C im Intervall [z; 2 [ um die x-Achse rotieren lässt.
ich habe erstmal V= [mm] \pi* \integral_{a}^{b} [/mm] ({f(x) [mm] dx})^2 [/mm]
aber ich weiß nicht was ich da nun für eine funktion einsetzte.. bin da noch nicht drauf gekommen...
mfg
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Hallo declatereter,
> > > 1c) die wendenormale schneidet die x-achse bei x=2
> >
> > Sieh dir mal die Zeichnung an. Dann siehst du, dass das
> > Vorzeichen nicht stimmt. x= -2.
>
> also ich habe mir bei einem freund die funktion mal dann
> von einem programm zeichnen lassen (weil ich nicht den
> fehler fand) und da geht die wendenormale auch durch x=2.
> aber die wendetangente geht durch x=-2. bringe ich jetzt
> was durcheinander oder wo ist mein denkfehler?!
da bringst Du gar nichts Durcheinander. Die Wendetangente schneidet die x-Achse bei x=-2, die Wendenormale bei x=2.
>
>
> > > 1e) A= 4,39 FE
> >
> > Auch hier habe ich ein anderes Ergebnis.
>
> welches denn? ich habe nochmal nachgerechnet und komme
> wieder auf das selbe...
>
> > Du brauchst hier die Zielfunktion, die das Volumen des
> > Ratationskörpers beschreibt.
> > Der Rotationskörper entsteht, wenn du die Gerade durch
> B
> > und C im Intervall [z; 2 [ um die x-Achse rotieren lässt.
>
> ich habe erstmal V= [mm]\pi* \integral_{a}^{b}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
({f(x) [mm]dx})^2[/mm]
> aber ich weiß nicht was ich da nun für eine funktion
> einsetzte.. bin da noch nicht drauf gekommen...
Bilde die Gerade, die durch (z|f(z)) und (2|0) geht.
Gruß
MathePower
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hallO!!
hab nach der allgemeinen form y-y1 = [mm] \bruch{y2-y1}{x2-x1} [/mm] *(x-x1) und P1 (z / f(z) ) und P2 (2/0) erstmal umgestellt+ zusammengefasst:
y = [mm] \bruch{-f(z)*x + f(z)*z}{2-z} [/mm] + f(z)
ist das erstmal richtig?
wenn ja ist das schon meine zielfunktion und wie komme ich denn nun auf das z?
mfg
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Hallo declatereter,
> hallO!!
>
> hab nach der allgemeinen form y-y1 = [mm]\bruch{y2-y1}{x2-x1}[/mm]
> *(x-x1) und P1 (z / f(z) ) und P2 (2/0) erstmal umgestellt+
> zusammengefasst:
>
> y = [mm]\bruch{-f(z)*x + f(z)*z}{2-z}[/mm] + f(z)
da gibt es noch was zu vereinfachen.
>
> ist das erstmal richtig?
> wenn ja ist das schon meine zielfunktion und wie komme ich
> denn nun auf das z?
Das ist die Zielfunktion, deren Quadrat Du integrieren mußt.
Dann mußt Du eben von z bis 2 integrieren und dann das Extremum für z bestimmen.
Gruß
MathePower
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hallo!
ok habe jetzt das f(z) aus dem zähler ausgeklammert und bekomme:
y= [mm] \bruch{f(z)*(-x+1)*z}{2-z} [/mm] + f(z)
also kürzen kann man jetzt ja nicht... wenn ich das quadriere müsste es doch die 1. binomische formel sein oder? aber das wird doch dann viel zu kompliziert... sehe ich das richtig?!
diese aufgabe ist anscheinend zu schwer für mich. ich komme im moment nicht so recht weiter..
mfg
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Hallo declatereter,
> ok habe jetzt das f(z) aus dem zähler ausgeklammert und
> bekomme:
> y= [mm]\bruch{f(z)*(-x+1)*z}{2-z}[/mm] + f(z)
> also kürzen kann man jetzt ja nicht... wenn ich das
> quadriere müsste es doch die 1. binomische formel sein
> oder? aber das wird doch dann viel zu kompliziert... sehe
> ich das richtig?!
Ich habe das so vereinfacht:
[mm]
\begin{gathered}
y\; = \;\frac{{ - f(z)\;x\; + \;f(z)\;z}}
{{2\; - \;z}}\; + \;f(z) \hfill \\
= \;\frac{{ - f(z)\;x\; + \;f(z)\;z\; + \;\left( {2\; - \;z} \right)\;f(z)}}
{{2\; - \;z}} \hfill \\
= \;\frac{{ - f(z)\;x\; + \;f(z)\;z\; + \;2\;f(z)\; - \;z\;f(z)}}
{{2\; - \;z}} \hfill \\
= \;\frac{{ - f(z)\;x\; + \;2\;f(z)}}
{{2\; - \;z}} \hfill \\
= \;\frac{{f(z)}}
{{2\; - \;z}}\;\left( {2\; - \;x} \right) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Mit dieser Vereinfachung ist das entstehende Integral leichter zu lösen.
Gruß
MathePower
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hallo!
so ist es natürlich viel besser! dann habe ich folgendes gemacht
V= [mm] \pi [/mm] * "integral" ( [mm] \bruch{f(z)}{2-z} [/mm] * [mm] (2-x))^2 [/mm] *dx --> dann habe ich es integriert und erhalte
V = [mm] \bruch{1}{3}* \pi [/mm] * ( [mm] \bruch{f(z)}{2-z} [/mm] * [mm] (2-x))^3 [/mm] mit den grenzen a=z und b=2
dann noch F(2) - F(z)
= [mm] \bruch{1}{3}* \pi [/mm] * (0 -f(z))
nun weiß ich aber nicht mehr weiter... wie komme ich denn nun auf das z?? oder ist hier ein rechenfehler?!
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:32 So 16.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christoph!
Da ist Dir leider noch ein Vorzeichenfehler unterlaufen. Außerdem hast Du das Quadrat nicht konsequent angewandt:
$V \ = \ [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{z}^{2}{\left[\bruch{f(z)}{2-z}*(2-x)\right]^2 \ dx}$
[/mm]
$V \ = \ [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{z}^{2}{\left[\bruch{f(z)}{2-z}\right]^2*(2-x)^2 \ dx}$
[/mm]
$V \ = \ [mm] \pi [/mm] * [mm] \left[\bruch{f(z)}{2-z}\right]^2 [/mm] * [mm] \integral_{z}^{2}{(2-x)^2 \ dx}$
[/mm]
$V \ = \ [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{[f(z)]^2}{(2-z)^2} [/mm] * [mm] \left[ \ \red{-} \ \bruch{1}{3}*(2-x)^3 \ \right]_{z}^{2}$
[/mm]
Damit erhältst Du ja nun eine Funktion $V(z)_$ , die nur noch von einer Variablen $z_$ abhängig ist.
Für diese Funktion $V(z)_$ musst Du nun Deine Extremwertberechnung (Nullstellen der 1. Ableitung usw.) durchführen.
Gruß
Loddar
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hallO!!
so ich habe jetzt die grenzen eingesetzt und erhalte erstmal
V(z) = [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{(f(z))^2}{(2-z)^2} [/mm] * ( [mm] \bruch{1}{3} *(2-z)^3)
[/mm]
dann habe ich [mm] (2-z)^2 [/mm] weggekürzt und hab als zielfunktion
V(z)= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \pi [/mm] * [mm] (f(z))^2 [/mm] * (2-z)
ist das nun richtig?
zum ableiten würde ich jetzt die produktregel anwenden, aber in meinem tafelwerk steht nur die formel mit 2 faktoren, aber müsste es nicht so sein:
y=u*v*w
y' = u'*v*w + v'*u*w + w'*u*v oder? ---> habe es eingesetzt und da einiges wegfällt kommt dann raus:
y'= [mm] 2*(fz)*\bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \pi [/mm] *(2-z)
kann das sein?!
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Hi, declatereter,
> und hab als zielfunktion
> V(z)= [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]\pi[/mm] * [mm](f(z))^2[/mm] * (2-z)
> ist das nun richtig?
Das entspricht genau meinem Ergebnis! Merkst Du nun, wie umständlich der Weg über das Integral ist?!!
V(z) = [mm] \bruch{1}{3}*\pi*((z-2)*e^{z})^2 [/mm] * (2-z)
V(z) = [mm] \bruch{1}{3}*\pi*(2-z)^{3}*e^{2z}
[/mm]
(Beachte dabei, dass [mm] (z-2)^{2} [/mm] = [mm] (2-z)^{2} [/mm] !!!)
> zum ableiten würde ich jetzt die produktregel anwenden,
> aber in meinem tafelwerk steht nur die formel mit 2
> faktoren.
Wie Du siehst, hast Du nach Umformung ja auch nur 2 Faktoren!
Daher:
V'(z) = [mm] \bruch{1}{3}*\pi*[3(2-z)^{2}*(-1)*e^{2z} [/mm] + [mm] 2*(2-z)^{3}*e^{2z}]
[/mm]
Nun klammere ich auch noch [mm] (2-z)^{2}*e^{2z} [/mm] aus:
V'(z) = [mm] \bruch{1}{3}*\pi*(2-z)^{2}*e^{2z}*[-3 [/mm] + 2*(2-z)]
Bei Null-Setzen wird berücksichtigt, dass [mm] \bruch{1}{3}*\pi*e^{2z}
[/mm]
nicht =0 sein kann.
Daher kann man (2-z) = 0 [mm] \vee [/mm] [-3 + 4 - 2z] = 0 rechnen.
Daraus ergibt sich: z=2 (offensichtlich Minimum! V(2) = 0)
bzw.: 1 - 2z = 0 <=> z = 0,5
(vgl. meine erste Antwort!)
Weiter wie üblich!
mfG!
Zwerglein
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> > und hab als zielfunktion
> > V(z)= [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]\pi[/mm] * [mm](f(z))^2[/mm] * (2-z)
> > ist das nun richtig?
>
> Das entspricht genau meinem Ergebnis! Merkst Du nun, wie
> umständlich der Weg über das Integral ist?!!
>
> V(z) = [mm]\bruch{1}{3}*\pi*((z-2)*e^{z})^2[/mm] * (2-z)
>
> V(z) = [mm]\bruch{1}{3}*\pi*(2-z)^{3}*e^{2z}[/mm]
>
> (Beachte dabei, dass [mm](z-2)^{2}[/mm] = [mm](2-z)^{2}[/mm] !!!)
ist ja gleich, aber warum kann man für f(z) [mm] (2-z)*e^z [/mm] einsetzen ?! das ist mir ein wenig unklar (oder hab ich das irgendwo übersehen?). aber sonst hab ich alles verstanden.
mfg
ps: sicher ist der andere weg etwas unkpmplizierter, aber ehrlich... ichwäre da nicht drauf gekommen!:)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 So 16.10.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, declatereter,
jetzt bin ICH verwundert!
Ich bin die ganze Zeit davon ausgegangen, dass Ihr (also Du und Deine Helfer) mit f(x) die anfangs gegebene Funktion meint!?
Ansonsten hab' ich mir diesen - m.E. viel zu komplizierten - Lösungsweg nicht weiter angeschaut.
Bei MEINEM Lösungsweg kommt jedenfalls das von mir genannte Ergebnis raus!
mfG!
Zwerglein
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hi!!
ahh... hab da was verwechselt. ja nee is klar. stimmt schon. hab es heut abgegeben. mal sehn ob es richtig ist?!? bis zum nächsten mal...
mfg
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Hi, declatereter,
> > > 1c) die wendenormale schneidet die x-achse bei x=2
> also ich habe mir bei einem freund die funktion mal dann
> von einem programm zeichnen lassen (weil ich nicht den
> fehler fand) und da geht die wendenormale auch durch x=2.
> aber die wendetangente geht durch x=-2. bringe ich jetzt
> was durcheinander oder wo ist mein denkfehler?!
Kein Denkfehler! Dein Ergebnis ist richtig!
> > > 1e) A= 4,39 FE
> >
> > Auch hier habe ich ein anderes Ergebnis.
>
> welches denn?
Naja: Vielleicht das exakte Ergebnis: A = [mm] e^{2}-3; [/mm] aber gerundet ergibt das schon 4,39.
Nun zu f)
Im Grunde brauchst Du hier nur die Volumenformel eines Kegels, also:
V = [mm] \bruch{1}{3}r^{2}*\pi*h.
[/mm]
Da nun aber r= [mm] \overline{AB} [/mm] = |f(z)| = (2 - [mm] z)*e^{z} [/mm] ist (beachte, dass B unterhalb der x-Achse liegt!)
und h = [mm] \overline{AC} [/mm] = 2 - z,
erhältst Du für V(z) = [mm] \bruch{1}{3}*(2 [/mm] - [mm] z)^{2}*e^{2z}*\pi*(2-z)
[/mm]
oder:
V(z) = [mm] \bruch{1}{3}*\pi*(2 [/mm] - [mm] z)^{3}*e^{2z}
[/mm]
Wenn Du das nun ableitest und V'(z) = 0 setzt, erhältst Du: z=0,5.
Das dort das gesuchte Maximum vorliegt, lässt sich leicht nachweisen!
mfG!
Zwerglein
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hallo!
dieser lösungsweg ist auch interessant. ich werde ihn mir morgen mal ansehen und nachvollziehen.
vielleicht geht es mit dem anderen lösungsweg auch. ich werde mal beide wege durchrechnen.
mfg
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Es müsste alles stimmen. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
