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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 So 01.02.2004 | | Autor: | hanna |
hallo!
ich habe hier eine Übungsaufgabe vor mir liegen und dazu eine (vllt ) ziemlich dumme frage:
also, die aufgabe heißt:
Es sei K ein Körper und A=[mm]\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}[/mm].
ferner sei [mm]\phi[/mm]: K2x2 [mm]\to[/mm] K2x2, Y [mm]\to[/mm] AY - YA . Offenbar ist [mm]\phi \in\[/mm]EndK2x2.
Man berechne das Minimalpolynom [mm]\gamma[/mm][mm]\phi[/mm] und alle Eigenwerte von [mm]\phi[/mm] und gebe zu jedem Eigenraum E[mm]\phi[/mm](s) eine Basis an, und zwar
a) für den Fall, dass 1+1[mm]\ne[/mm]0 in K ist, und
b) für den Fall, dass 1+1=0 in K ist.
so, jetzt meine Frage zu a)
und zwar hab ich das minimalpolynom ausgerechnet.
es lautet [mm]\gamma[/mm][mm]\phi[/mm] = [mm]x^3-4\cdot x[/mm].
eigenwerte sind also 0, -2 und 2. jetzt hab ich irgendwie ein brett vorm kopf... wie komm ich denn jetzt auf den eigenraum? könnt ihr mir vllt einen tipp geben?
und zu b) hab ich auch noch ein frage. und zwar, wie soll ich das verstehen : 1+1=0? das heißt doch ganz eindeutig, dass ich in [mm]\mathbb{Z}[/mm]2 bin, oder? das heisst, mein minimalpolynom sieht dann auch anders aus, oder nicht?
wäre auf jeden fall total nett, wenn ihr mir da weiter helfen könntet!
lg, hanna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 So 01.02.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo hanna,
ad a)
> so, jetzt meine Frage zu a)
> und zwar hab ich das minimalpolynom ausgerechnet.
> es lautet [mm]\gamma[/mm][mm]\phi[/mm] = [mm]x^3-4\cdot x[/mm].
>
> eigenwerte sind also 0, -2 und 2. jetzt hab ich irgendwie
Das habe ich jetzt noch nicht kontrolliert, werde das aber gleich nachreichen.
> ein brett vorm kopf... wie komm ich denn jetzt auf den
> eigenraum? könnt ihr mir vllt einen tipp geben?
Zu jedem Eigenwert berechnest du jetzt einfach die Eigenvektoren, mit diesem Ansatz:
[mm] $\Phi(Y)=\lambda [/mm] Y$ [mm] ($\lambda$ [/mm] ist der EW)
Die Lösungsmenge dieser Gleichung bildet ist ein Vektorraum, und heißt dann Eigenraum.
> und zu b) hab ich auch noch ein frage. und zwar, wie soll
> ich das verstehen : 1+1=0? das heißt doch ganz eindeutig,
> dass ich in [mm]\mathbb{Z}[/mm]2 bin, oder? das heisst,
Sieht so aus...
> mein minimalpolynom sieht dann auch anders aus, oder
> nicht?
Ja, das stimmt formal zwar, in der Praxis ist es aber nicht so tragisch, denn es wird ja eher "vereinfacht" durch die "Vereinfachung" des Grundkörpers.
Für das Polynom oben könntest du dann einfach [mm] $\gamma_\Phi=x$ [/mm] schreiben.
> wäre auf jeden fall total nett, wenn ihr mir da weiter
> helfen könntet!
Das konkrete Minimalpolynom und die EW sehe ich mir jetzt noch an und melde mich nochmal.
Bis gleich,
Marc.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 So 01.02.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo hanna,
die Abbildungsmatrix lautet also
[mm] M=\begin{pmatrix}
0 & -1 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
\end{pmatrix}[/mm]
Das charakteristische Polynom lautet:
$ [mm] p(x)=x^4-4x^2$
[/mm]
Zerlegung in irreduzible Polynome:
$ [mm] p(x)=x^2*(x^2-4)=x^2*(x-2)(x+2) [/mm] $
Das Minimalpolynom ist [mm] $m(x)=x*(x-2)(x+2)=x^3-4x$, [/mm] da
$ M*(M-2)(M+2) = 0 $
$ (M-2)(M+2) [mm] \neq [/mm] 0 $
$ M*(M+2) [mm] \neq [/mm] 0 $
$ M*(M-2) [mm] \neq [/mm] 0 $
Also ist dein Minimalpolynom korrekt, die Eigenwerte stimmen natürlich auch.
Alles Gute,
Marc.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 So 01.02.2004 | | Autor: | nils |
Hallo marc,
wir haben noch nicht so ganz verstanden wie man auf die Abbildungsmatrix kommt, könntest du dazu vielleicht noch kurz eine Erklärung geben?
Wir sind auf das Minimalpolynom gekommen indem wir [mm]\gamma^2[/mm] ausgerechnet haben und dann [mm]\gamma^3[/mm]. Das sah dann ähnlich aus wie unser "Anfangs"[mm]\gamma[/mm] und man sah das [mm]\gamma^3 - 4\gamma = 0[/mm] ist und so hatten wir unser Minimalpolynom...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 So 01.02.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo nils,
noch einer aus der Vorlesung?! Herzliches Willkommen auch für dich 
> wir haben noch nicht so ganz verstanden wie man auf die
> Abbildungsmatrix kommt, könntest du dazu vielleicht noch
> kurz eine Erklärung geben?
Ich habe die Abbildung einfach als lineare Abbildung aufgefasst, wozu es ja dann eine solche Matrix gibt:
[mm] Y= \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\in\IK^{2\times2}[/mm]
[mm]\phi(Y)=AY-YA=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
[mm]=\begin{pmatrix}
c & d \\
a & b
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
b & a \\
d & c
\end{pmatrix}[/mm]
[mm]=\begin{pmatrix}
c-b & d-a \\
a-d & b-c
\end{pmatrix}[/mm]
Wir haben also die Abbildung:
[mm]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}
c-b & d-a \\
a-d & b-c
\end{pmatrix}[/mm]
Bettet man [mm]\IK^{2\times 2}[/mm] natürlicherweise in [mm] \IK^4 [/mm] ein, kann man diese Abbildung auch mit den altbekannten Vektoren schreiben:
[mm]\begin{pmatrix}
a \\ b \\
c \\ d
\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}
c-b \\ d-a \\
a-d \\ b-c
\end{pmatrix}[/mm][mm]=\begin{pmatrix}
0a-1b+1c+0d \\ -1a+0b+0c+1d \\
\cdots \\ \cdots
\end{pmatrix}[/mm]
In Matrixschreibweise dann:
[mm]\begin{pmatrix}
a \\ b \\
c \\ d
\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}
0 & -1 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
a \\ b \\
c \\ d
\end{pmatrix}[/mm]
> Wir sind auf das Minimalpolynom gekommen indem wir [mm]\gamma^2[/mm]
[mm] \gamma [/mm] ist das charakteristische Polynom? Und warum habt Ihr dann [mm] $\gamma^2$ [/mm] berechnet?
> ausgerechnet haben und dann [mm]\gamma^3[/mm]. Das sah dann ähnlich
> aus wie unser "Anfangs"[mm]\gamma[/mm] und man sah das [mm]\gamma^3 - 4\gamma = 0[/mm]
> ist und so hatten wir unser Minimalpolynom...
Das ist mir unklar, deswegen kann ich auch nicht sagen, ob es falsch oder richtig ist...
Alles Gute,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 So 01.02.2004 | | Autor: | nils |
Hallo marc,
aha! Danke für deine Erklärung :D
Ups, mein [mm]\gamma[/mm] ist natürlich nicht das Char Pol. Ich meinte natrülich damit die Abb. [mm]\phi[/mm]. Die haben wir einfach immer weiter in sich selbst eingesetzt bis man wieder etwas ähnliches hatte (also erst [mm]\phi(\phi(Y))[/mm] und dann wie gesagt [mm]\phi(\phi(\phi(Y)))[/mm], wodruch wir dann auf das Minimalpol. kamen).
Nils
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 So 01.02.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo nils,> Hallo marc,
> Ups, mein [mm]\gamma[/mm] ist natürlich nicht das Char Pol. Ich
> meinte natrülich damit die Abb. [mm]\phi[/mm]. Die haben wir einfach
> immer weiter in sich selbst eingesetzt bis man wieder etwas
> ähnliches hatte (also erst [mm]\phi(\phi(Y))[/mm] und dann wie
> gesagt [mm]\phi(\phi(\phi(Y)))[/mm], wodruch wir dann auf das
> Minimalpol. kamen).
Aha, jetzt verstehe ich. Ist gar nicht mal so unclever, so vorzugehen, obwohl man so wahrscheinlich nicht immer das Minimalpolynom finden wird.
Habt Ihr denn schon das Minimalpolynom von Abbildunsmatrizen berechnet? Falls ja, dann müßtet Ihr ja (jetzt) was mit meiner Lösung anfangen können.
Alles Gute,
Marc.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 So 01.02.2004 | | Autor: | nils |
Ja, danke, können wir. Mit der Abbildungsmatrix ist es natürlich jetzt deutlich netter die Eigenräume zu den gefundenen EW zu bestimmen.
Haben es zwar noch nicht gemacht, werden aber gerne unser Ergebnis noch Anhängen sobald wir fertig sind.
-- so hier sind die ER --
ER zum EW 0 ist [mm]<\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}> [/mm]
ER zum EW 2 ist [mm]<\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}> [/mm]
und für den EW -2 haben wir [mm]<\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}> [/mm]
nochmals danke für die Hilfe
Nils
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 So 01.02.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
ER sind alle richtig
Alles Gute,
Marc.
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