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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Di 27.11.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
hätte ne frage zu folgenden beispiel:
[Dateianhang nicht öffentlich]
wenn ich mal sage für [mm] \lambda=0:
[/mm]
[mm] (A-\lambda1*E)*x_1=0
[/mm]
dann habe ich ja:
[mm] \pmat{ 95 & -25 & 56 \\ 318 & -84 & 192 \\ -12 & 3 & -5}*\vektor{u_1 \\ u_2 \\ u_3}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
nur wie löse ich das system jetzt? habe ja in der letzten zeile drei werte, -12, 3 und 5 stehen??
danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo!
Das ist doch jetzt ein ganz normales Gleichungssystem. Du kannst es z.B. erstmal als solches hinschreiben. Danach gehts dann z.B. nach dem Gauss-Verfahren weiter:
Beispielsweise die erste Zeile mit 12/95 multiplizieren und zu der letzten addieren. GEnauso kannst du die ursprünglich erste Zeile mit 328/95 multiplizieren und von der zweiten abziehen. Damit hast du schonmal zwei zeilen mi zwei Unbekannten...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Di 27.11.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
wenn ich das so mache und de gleichungen vereinfach komme ich dann auf:
[mm] -2/5*u_3=0 [/mm]
also wären ja [mm] u_1, u_2 [/mm] und [mm] u_3 [/mm] ja null oder??
aso, das heisst wenn ich jetzt das zweite mache mit [mm] \lambda=1 [/mm] muss ich wieder das gleichungssystem auf eine stufenform bringen und dann lösen?
danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Di 27.11.2007 | | Autor: | tobbi |
Hallo Dagobert,
ansich ist dein Vorgehen auch für [mm] \lambda [/mm] _{2}=1 richtig. Du subtrahierst einmal die Einheitsmatrix von deiner Matrix A und löst die dann z.B. mit dem Gaus-Algorithmus.
Bei der Berechnung für lambda _{1}=0 ist noch irgendwo ein Fehlerchen drin. Der Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] ist per Definition kein Eigenvektor (diese sollten verschieden vom Nullvektor sein, dieser wäre ja triviale Lösung für alle Gleichungssystem der Form [mm] (A-\lambda1\cdot{}E)\cdot{}x_1=0 [/mm] ).
Schöne Grüße
Tobbi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Di 27.11.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
danke!
zu [mm] \lambda1=0
[/mm]
da hab ich ja dieses gleichungssystem nachdem ichs auf stufenform gebracht habe:
[mm] \pmat{ 95 & -25 & 56 \\ 0 & 6/19 & -432/95 \\ 0 & 0 & -2/5} [/mm] nur wie mach ich das dann jetzt? das ich das löse? weil ja sonst eigentlich der nullvektor rauskommt.
danke!
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Hallo Dagobert,
ich glaube, da stimmt was mit den Eigenwerten nicht.
Wenn du mal das charakteristische Polynom aufstellst, so erhält man - zumindest habe ich das raus 
[mm] $cp(\lambda)=-\lambda^3+6\lambda^2-11\lambda+6$
[/mm]
Und das hat die Nullstellen [mm] $\lambda_1=1,\lambda_2=2,\lambda_3=3$
[/mm]
Also ist nix mit Eigenwert 0
Da haste dir die ganze Arbeit mit dem Lösen des GS gemacht ...
Ohoh
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Di 27.11.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
danke! hab das mit den eigenwerten auch gerechnet und komme aufs selbe ;)
wenn ich jetzt dann zb [mm] \lambda=1 [/mm] hernehme und den eigenvektor bestimmen möchte, dann hab ich ja:
meine matrix [mm] A=\pmat{ 95 & -25 & 56 \\ 318 & -84 & 192 \\ -12 & 2 & -5}
[/mm]
[mm] (A-\lambda*E)*x_1=0
[/mm]
dann hab ich ja:
[mm] \pmat{ 94 & -25 & 56 \\ 318 & -85 & 192 \\ -12 & 2 & -6}*\vektor{u_1 \\ u_2\\u_3}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
muss ich das jetzt wieder auf eine stufenform bringen?
hab das mal gemacht:
[mm] \pmat{ 94 & -25 & 56 \\ 318 & -85 & 192 \\ -12 & 2 & -6} [/mm] --> [mm] z_3:z_3+12/94*z_1 [/mm] --> [mm] \pmat{ 94 & -25 & 56 \\ 318 & -85 & 192 \\ 0 & -56/47 & 54/47} [/mm] --> [mm] z_2:z_2-318/94*z_1 [/mm] --> [mm] \pmat{ 94 & -25 & 56 \\ 0 & -20/47 & 120/47 \\ 0 & -56/47 & 54/47}
[/mm]
nur da bekomm ich als lösung ja wieder den nullvektor raus oder??
danke!
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Hallo Dagobert,
> hallo!
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> danke! hab das mit den eigenwerten auch gerechnet und komme
> aufs selbe ;)
>
> wenn ich jetzt dann zb [mm]\lambda=1[/mm] hernehme und den
> eigenvektor bestimmen möchte, dann hab ich ja:
>
> meine matrix [mm]A=\pmat{ 95 & -25 & 56 \\ 318 & -84 & 192 \\ -12 & \red{3} & -5}[/mm]
>
> [mm](A-\lambda*E)*x_1=0[/mm]
>
> dann hab ich ja:
>
> [mm]\pmat{ 94 & -25 & 56 \\ 318 & -85 & 192 \\ -12 & \red{3} & -6}*\vektor{u_1 \\ u_2\\u_3}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> muss ich das jetzt wieder auf eine stufenform bringen? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> hab das mal gemacht:
>
> [mm]\pmat{ 94 & -25 & 56 \\ 318 & -85 & 192 \\ -12 & 2 & -6}[/mm]
> --> [mm]z_3:z_3+12/94*z_1[/mm] --> [mm]\pmat{ 94 & -25 & 56 \\ 318 & -85 & 192 \\ 0 & -56/47 & 54/47}[/mm]
> --> [mm]z_2:z_2-318/94*z_1[/mm] --> [mm]\pmat{ 94 & -25 & 56 \\ 0 & -20/47 & 120/47 \\ 0 & -56/47 & 54/47}[/mm]
>
> nur da bekomm ich als lösung ja wieder den nullvektor raus
> oder??
>
> danke!
>
Ohje, schon wieder sone Heidenarbeit
Du hast den Eintrag [mm] a_{3,2} [/mm] falsch übernommen aus der Aufgabenstellung.
Ich habs gerade mal mit der 3 statt der 2 nachgerechnet und bekomme bei den Ümformungen in ZSF eine Nullzeile - wie gewünscht.
Der Lösungsmenge des LSG zum Eigenwert [mm] \lambda=1 [/mm] ist [mm] $\left\{t\cdot{}\vektor{1\\6\\1}\mid t\in\IR\right\}$
[/mm]
irgendeiner davon [mm] \neq [/mm] 0 ist dann ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda=1
[/mm]
zB der für $t=1$, also [mm] $v_{\lambda_1}=\vektor{1\\6\\1}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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