ein Polynom n-mal ableiten < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Mi 17.11.2004 | | Autor: | moebak |
Also Leute, es ist heute mein erster Abend mit euch!  )
Ich schildere euch mal die Aufgabe, die mir hier etwas Kopftrommeln verbreitet:
Wir hatten die Gleichung
[mm] 1+b_{1}(x+y)+b_{2}(x+y)^2+b{_3}(x+y)^3+..... [/mm] =
[mm] (1+b{_1}x+b{_2}x^2+b{_3}x^3+...)*(1+b{_1}y+b{_2}y^2+b{_3}y^3+...)
[/mm]
aufgestellt und uns überlegt, dass beim Ausrechnen auf beiden Seiten ein "Polynom in den beiden Variablen x,y" entsteht, also:
linke Seite= [mm] c_{00}+c_{10}x+c_{01}y+c_{20}x^2+c_{11}xy+c_{02}y^2+c_{30}x^3+c_{21}x^2y+c_{12}xy^2+....,
[/mm]
rechte Seite: [mm] d_{00}+d_{10}x+d_{01}y+d_{20}x^2+d_{11}xy+d_{02}y^2+d_{30}x^3+d_{21}x^2y+d_{12}xy^2+....,
[/mm]
mit irgendwelchen Koeffizienten [mm] c_{k1}, d_{k1}.
[/mm]
Bei genaueren Hinsehen fanden wir heraus, dass
[mm] c_{n-11}=nb_{n}
[/mm]
[mm] d_{n-11}=b_{1}*b_{n-1}
[/mm]
gelten muss. Sodann haben wir durch "Koeffizientenvergleich" geschlossen, dass [mm] nb_{n}=b_{1}*b_{n-1} [/mm] für alle n=1,2,3.... gelten müsste, u.s.w. Geht dieser Koeffizientenvergleich" in Ordung, oder genauer gefragt: Könnte es nicht sein, daß linke Seite (x,y)= rechte Seite(x,y) für alle x,y gilt, auch ohne dass die Koeffizienten gleich sind? Das kann in der Tat nicht sein, aber man muss es auch begründen! Darum geht es jetzt:
(1) Es sei p(x) = [mm] a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}
[/mm]
ein Polynom. Weiter gelte p(x) = 0 für alle x. Zeigen Sie, dass dann
[mm] a_{0}=a_{1}=a_{2}=a_{3}=....=a_{n}=0
[/mm]
Hinweis: Leiten Sie die Funktion p(x) n-mal nach x ab!
Wie in aller Welt soll ich hier Anfangen?!?
Und vor allem, wie leite ich ein Polynom n-mal ab????????
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Mi 17.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin moebak!
wolln wirs mal versuchen:
nehmen wir als Beispiel mal n=5
[mm] p_{5}(x)=a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+a_{5}x^{5}
[/mm]
[mm] p_{5}'(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+4a_{4}x^{3}+5a_{5}x^{4}
[/mm]
[mm] p_{5}''(x)=2a_{2}+6a_{3}x+12a_{4}x^{2}+20a_{5}x^{3}
[/mm]
[mm] p_{5}'''(x)=6a_{3}+24a_{4}x+60a_{5}x^{2}
[/mm]
[mm] p_{5}''''(x)=24a_{4}+120a_{5}x
[/mm]
[mm] p_{5}'''''(x)=120a_{5}
[/mm]
is da ne Regel?
Tip 120=5!
MfG zwerg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Mi 17.11.2004 | | Autor: | moebak |
Hallo Zwerg,
erstmal freue ich mich dass du so schnell reagiert hast. Aber deinen Tip verstehe ich nicht so ganz! Ich soll doch beweisen, dass alle Koeffizienten gleich sind, nämlich = 0 !?!
Oder bin ich einfach nur bedeppert?
Gruß
moebak
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Mi 17.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Tach nochmal!
Um die eingendliche Aufgabe hab ich mich erstmal noch nich gekümmert.
Die kleine Hilfe bezog sich einzig und allein auf die Frage:
>Und vor allem, wie leite ich ein Polynom n-mal ab????????
Haste das nun raus?
MfG zwerg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Mi 17.11.2004 | | Autor: | moebak |
Hallo nochmal,
also so eindeutig meinte ich das nicht mit der Frage:" Wie leite ich ein Polynom ab". Vielmehr ist das auf die Frage der Aufgabenstellung bezogen, also
wie beweise ich nun das alle Koeffizienten gleich 0 sind???
Zumindest ein Ansatz bräuchte ich da schon
Gruß
moebak
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:42 Mi 17.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Schreib mal die nte Ableitung auf.
Ich versuche in der Zwischenzeit den Ansatz zu formulieren.
MfG zwerg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Mi 17.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Frage:
Wann sind zwei Polynome gleich?
Zwei Polynome heißen gleich, wenn sie in jedem ihrer Koeffizienten gleich sind.
Nun ist dein P(x) das Nullpolynom [mm] \forall x\in \IR
[/mm]
"Bau" dir also ein Gleichungssystem der Ableitungen und setze voraus das auch diese das Nullpolynom sind, damit du einen Koeffizientenvergleich machen kannst.
das GS:
p(x)=0
p''(x)=0
.
.
.
[mm] p^{n}'(x)=0
[/mm]
weißt du nun warum du die nte Ableitung brauchst?
MfG zwerg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 Mi 17.11.2004 | | Autor: | moebak |
Hallo Zwerg,
Wo bleibt den dein dritter Stern??
Danke, danke, danke, danke, danke................
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:19 Do 18.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo moeback,
ich verstehe eine Formulierung in Zwergs Ansatz nicht:
Du sollst voraussetzen, dass alle Koeffizienten $=0$ sind? War das nicht die eigentliche Aufgabe, zu zeigen, dass wenn $p$ ein Polynom, also der Form
[mm] $p(x)=a_0+a_1x+...+a_n x^n$ [/mm] (mit $n [mm] \in \IN_{\;0}:=\IN \cup \{0\}$)
[/mm]
ist, und wenn dann gilt:
$p(x)=0$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] (\in \IR)$,
[/mm]
dass daraus folgt:
[mm] $a_0=a_1=...=a_n=0$?
[/mm]
Man kann doch nicht die Aussage, die man beweisen soll, voraussetzen? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Der Ansatz stimmt aber dennoch (irgendwie... man muss auch nicht voraussetzen, dass alle Ableitungen von $p$ das Nullpolynom sind, sondern alle Ableitungen von $p$ sind als Ableitungen der (konstanten) Nullfunktion halt wieder die Nullfunktion):
Da $p(x)=0$ [mm] $\forall [/mm] x$, gilt insbesondere, dass $p$ unendlich oft diff'bar auf [mm] $\IR$ [/mm] ist und es gilt für die $k$-te Ableitung von $p$:
[mm] $(\star)$ $p^{(k)}(x)=0$ $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Wenn du dir mal anschaust, wie die Ableitungen von $p$ (in der Polynomdarstellung!!!) aussehen, so stellst du fest:
Die n-te Ableitung hat die Form:
[mm] $p^{(n)}(x)=irgendwas*a_n$ $\forall [/mm] x$, wobei $irgendwas [mm] \in \IN$, [/mm] also insbesondere $irgendwas [mm] \not=0$ [/mm] ist. Da aber nach [mm] $(\star)$ [/mm] auch [mm] $p^{(n)}(x)=0$ $\forall [/mm] x$ gilt, erhältst du deswegen:
[mm] $a_n=0$.
[/mm]
Die $n-1$-te Ableitung von $p$ hatte die Form:
[mm] $p^{(n-1)}(x)=irgendwasanderes*a_{n-1}+(\frac{irgendwas}{1}) a_n*x$ $\forall [/mm] x$.
Da du eben gesehen hast:
[mm] $a_n=0$ [/mm] und auch hier
[mm] $p^{(n-1)}(x)=0$ $\forall [/mm] x$ gilt (siehe [mm] $(\star)$), [/mm] folgt damit (weil [m]irgendwasanderes \in \IN[/m], also insbesondere [mm] $irgendwasanderes\not=0$ [/mm] gilt)
[mm] $a_{n-1}=0$.
[/mm]
etc.
Damit erhältst du dann durch rekursives weitermachen:
[mm] $a_n=a_{n-1}=...=a_0=0$.
[/mm]
(Bemerkung:
Man kann die Ableitungen anstatt mit $irgendwas_$ und $irgendwasanderes_$ etc. auch exakter angeben, aber das braucht man gar nicht. Am Ende genügt uns:
$irgendwas [mm] \not=0$, [/mm] um [mm] $a_n=0$ [/mm] zu erhalten,
dann genügt uns:
$irgendwasanderes [mm] \not=0$, [/mm] um dann [mm] $a_{n-1}=0$ [/mm] zu erhalten etc.)
Fazit: Ein Polynom ist genau dann die Nullfunktion (das Nullpolynom) (auf [mm] $\IR$), [/mm] falls alle Koeffizienten $=0$ sind.
Sind nun [mm] $p(x)=a_0+a_1 x+...+a_n x^n$ [/mm] und [mm] $q(x)=b_0+b_1 x+...+b_n x^n$ [/mm] zwei Polynome vom Grad $n$ (ich hoffe, der Grad soll gleich sein; zumindest verstehe ich die Aufgabe so, nach deiner Formulierung), so dass $p(x)=q(x)$ [mm] $\forall [/mm] x$ gilt, so folgt:
$p(x)-q(x)=0$ [mm] $\forall [/mm] x$.
D.h. aber:
[mm] $p(x)-q(x)=(a_0-b_0)+(a_1-b_1)x+...+(a_n-b_n)x^n$ $\forall [/mm] x$.
Also ist $(p-q)(x)=0$ [mm] $\forall [/mm] x$, und deswegen muss, wie im ersten Teil gesehen, gelten:
[mm] $a_0-b_0=a_1-b_1=a_2-b_2=...=a_n-b_n=0$, [/mm] also:
[mm] $a_0=b_0$, $a_1=b_1$,...,$a_n=b_n$.
[/mm]
D.h., die Koeffizienten von $p$ und $q$ sind dann alle gleich.
Viele Grüße,
Marcel
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