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| Aufgabe | Zeige: Für alle n [mm] \in \IN [/mm] existieren eindeutige s; [mm] r_s \IN \cup0 [/mm] und i [mm] \in \{1,2\} [/mm] mit 0 [mm] \le r_s [/mm] <
[mm] 3^s [/mm] und n = i [mm] \* 3^s [/mm] + [mm] r_s. [/mm] |
Da zu habe ich leider keine Idee ( vielleicht Induktion...)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Di 30.12.2008 | | Autor: | rainerS |
> Zeige: Für alle n [mm]\in \IN[/mm] existieren eindeutige s; [mm]r_s \IN \cup0[/mm]
> und i [mm]\in \{1,2\}[/mm] mit 0 [mm]\le r_s[/mm] <
> [mm]3^s[/mm] und n = i [mm]\* 3^s[/mm] + [mm]r_s.[/mm]
> Da zu habe ich leider keine Idee ( vielleicht
> Induktion...)
Tipp: Was kann bei der Division mit Rest einer natürlichen Zahl n durch 3 als Rest herauskommen?
Viele Grüße
Rainer
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Hallo rainerS,
kann es sein, das gilt:
i mod 3.
Das heißt es kann nur als rest 1 oder 2 heruskommen......
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Nein, das ist doch nicht gemeint.
Es geht um die eindeutige Darstellung jeder natürlichen Zahl durch die größte in ihr enthaltene Dreierpotenz zzgl. eines Restes. Dass i nur 1 oder 2 sein kann, ist in der Aufgabe ja vorgegeben.
Hier ein paar Beispiele. Dabei ist i grün markiert, s rot und [mm] \blue{r_s} [/mm] blau.
[mm] 5=\green{1}*3^{\red{1}}+\blue{2}
[/mm]
[mm] 7=\green{2}*3^{\red{1}}+\blue{1}
[/mm]
[mm] 23=\green{2}*3^{\red{2}}+\blue{5}
[/mm]
[mm] 52=\green{1}*3^{\red{3}}+\blue{25}
[/mm]
[mm] 120=\green{1}*3^{\red{4}}+\blue{39}
[/mm]
[mm] 210=\green{2}*3^{\red{4}}+\blue{48}
[/mm]
[mm] 728=\green{2}*3^{\red{5}}+\blue{242}
[/mm]
[mm] 836=\green{1}*3^{\red{6}}+\blue{107}
[/mm]
[mm] 1731=\green{2}*3^{\red{6}}+\blue{273}
[/mm]
etc.
Du sollst nun zeigen, dass diese Zerlegungen eindeutig sind, es also für keine Zahl eine alternative Zerlegung gibt, die den Bedingungen entspräche.
lg,
reverend
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oh, tut mir leid.
ich weiß leider nicht wie ich beim beweis vorgehe.
Idee: Beweis duch widerspruch.
es ex. zwei darstellung für n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] n=i*3^s+r_s
[/mm]
[mm] n=i*3^d+g_d
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] r_s={g_d}und [/mm] s=d
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Das geht vielleicht, aber ich sehe für den Widerspruchsbeweis doch keinen eleganten Weg mehr.
Zeige doch einfach die Eindeutigkeit von s aus [mm] 3^s\le n<3^{s+1}, [/mm] dann die Eindeutigkeit von i aus [mm] 0\le r_s<3^s [/mm] und schließlich von [mm] r_s.
[/mm]
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danke, aber ich weiß immer noch nicht wie ich vorgehen soll.......
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Letztlich sollst Du doch nur zeigen, dass jede natürliche Zahl eine eindeutige Darstellung im Dreiersystem (3-adisch) hat. Die führende Ziffer kann keine 0 sein, bleiben noch 1 und 2, das ist dann Dein i. Alle Ziffern danach sind die eindeutige Darstellung des [mm] r_s. [/mm] Und wenn die Darstellung zur Basis 3 n Stellen hat, ist s=n-1.
Ansonsten habe ich den Weg doch deutlich skizziert. Fang einfach mal mit der Eindeutigkeit von s an.
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Hallo reverend.
das was du geschrieben hast, klingt alles logisch, aber ich weis immer noch nicht wie ich beim Beweis vorgehen soll.
Frohes neues Jahr
Lg
Sachsen- Junge
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> das was du geschrieben hast, klingt alles logisch, aber ich
> weis immer noch nicht wie ich beim Beweis vorgehen soll.
Hallo,
welche Art von Hilfe erwartest Du nun von uns?
Der reverend hat Dir doch gesagt, wie Du beginnen kannst: damit, daß Du zeigst, daß s eindeutig ist.
Was hast Du dafür bisher getan? Das müßte man ja sehen, um helfen zu können.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela.
Ich bin für jede Hilfe wirklich wirklich dankbar!!!
Mein Ziel für die Aufgabe ist es :
i) sie zu verstehen
ii)sie zu lösen
Das ist wie unser prof. sagen würde "trivial"(ist es eigentlich auch), aber wie ich finde nicht selbstverständlich. Die Aufgaben finde ich wirklich schwer, wenn man es mit dem Vorlesungsstoff vergleicht.
Man könnte es mit einen Sprung ins kalte Wasser vergleichen...
So, nun zu den Lösungsweg:
wie reverend geschrieben hat:
eindeutigkeit von s aus [mm] 3^s\le [/mm] n < [mm] 3^{s+1}
[/mm]
Bsp.
[mm] 5=1*3^1+2
[/mm]
[mm] 7=2*3^1+1
[/mm]
Ich würde ja gerne schreiben man sieht es ja (weil es gibt keine andere darstellung die die voraussetzungen erfüllt) Mir fehlt es schwer ein "Trick" zu finden, um dieses zu beweisen (vielleicht Induktion) .
Ich schätze auch mal, das ich mal wieder total auf den schlauch stehe.....
Liebe Grüße
Sachsen-Junge
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>
> So, nun zu den Lösungsweg:
>
> wie reverend geschrieben hat:
> eindeutigkeit von s aus [mm]3^s\le[/mm] n < [mm]3^{s+1}[/mm]
> Bsp.
> [mm]5=1*3^1+2[/mm]
> [mm]7=2*3^1+1[/mm]
>
> Ich würde ja gerne schreiben man sieht es ja (weil es gibt
> keine andere darstellung die die voraussetzungen erfüllt)
> Mir fehlt es schwer ein "Trick" zu finden, um dieses zu
> beweisen (vielleicht Induktion) .
Hallo,
man braucht hier keinen Trick.
Nimm an, Du hast eine Zahl n, für welche es zwei solcher Darstellungen wie in der Aufgabenstllung gibt mit [mm] s_1
Schätze nun [mm] n=i_1*3^{s_1}+r_1 [/mm] und [mm] n=i_2*3^{s_2}+r_2 [/mm] nach oben und unten ab und entdecke den Widerspruch.
Gruß v. Angela
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