einfach zusammenhängend < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 So 31.07.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo!
Wie kann man zeigen, daß [mm]\mathbb R^n\backslash \left\{0\right\}[/mm], [mm]n\geq 3[/mm] einfach zusammenhängend ist? |
Kenne nur die folgende Definition:
Ein Gebiet [mm]U\subset \mathbb R^n[/mm] heißt einfach zusammenhängend, falls es einen Punkt [mm]p_0\in U[/mm] gibt, so dass jede geschlossene Kurve [mm]\alpha:[0,1]\to U [/mm] mit Anfangs- und Endpunkt [mm]p_0[/mm] nullhomotop ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 So 31.07.2011 | | Autor: | mikexx |
Habe noch zwei äquivalente Definitionen für "einfach zusammenhängend" gefunden:
(2) Jede geschlossene stetige Kurve in U ist nullhomotop.
(3) Jede geschlossene stetige Kurve in U ist frei nullhomotop.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:03 Mo 01.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo!
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> Wie kann man zeigen, daß [mm]\mathbb R^n\backslash \left\{0\right\}[/mm],
> [mm]n\geq 3[/mm] einfach zusammenhängend ist?
> Kenne nur die folgende Definition:
>
> Ein Gebiet [mm]U\subset \mathbb R^n[/mm] heißt einfach
> zusammenhängend, falls es einen Punkt [mm]p_0\in U[/mm] gibt, so
> dass jede geschlossene Kurve [mm]\alpha:[0,1]\to U[/mm] mit Anfangs-
> und Endpunkt [mm]p_0[/mm] nullhomotop ist.
Nimm dir irgendeine Schlaufe im [mm] $\IR^n \setminus \{ 0 \}$. [/mm] Ueberlege dir folgende Schritte:
1) Es gibt ein $v [mm] \in \IR^n \setminus \{ 0 \}$ [/mm] so dass [mm] $\IR_{>0} [/mm] v$ die Schlaufe nicht schneidet.
2) Du kannst mit Hilfe von $v$ die Kurve weit weg schieben (also eine Homotopie konstruieren zu einer Schlaufe die weit weg ist), sagen wir so dass man die Schlaufe in einen Ball packen kann so dass der Ball den Nullpunkt nicht enthaelt.
3) Der Ball ist einfach zusammenhaengend (hattet ihr das schon?) und deswegen ist die Schlaufe im Ball -- und somit auch in [mm] $\IR^n \setminus \{ 0 \}$ [/mm] -- nullhomotop. (Wenn ihr das mit dem Ball noch nicht hattet: im Ball ist das wirklich sehr sehr einfach zu zeigen.)
Der wichtigste Schritt ist 1): hier brauchst du, dass $n > 2$ ist. Fuer $n = 2$ geht es schon schief, wenn die Schlaufe etwa ein Kreis um 0 ist. (Bei $n = 1$ geht es wieder, aber in dem Fall ist der Raum gar nicht zusammenhaengend...)
LG Felix
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Hallo Felix,
in diesem Zusammenhang möchte ich dir gerne noch eine Frage stellen. Unter den geschlossenen (und sich nicht selber kreuzenden) Kurven z.B. im [mm] \IR^3 [/mm] gibt es doch solche, die zu einem Kreis im [mm] \IR^3 [/mm] topologisch isomorph sind und andere, die im [mm] \IR^3 [/mm] nur stetig in einen Kreis verwandelt werden könnten, wenn im Laufe der Verformung die Kurve sich selbst "durchkreuzen" darf. Ich spreche also den Unterschied zwischen einfachen "Kreisen" im [mm] \IR^3 [/mm] und echt verknoteten geschlossenen stetigen Kurven im [mm] \IR^3 [/mm] an.
Ist nun eine "echt verknotete" Kurve im [mm] \IR^3 [/mm] tatsächlich auch "nullhomotop" ? Natürlich kann man sie z.B. durch eine stetige Kontraktion zu einem Punkt schrumpfen lassen - aber dabei verliert bzw. opfert man nach meiner Ansicht im letzten Moment (beim Grenzübergang für [mm] r\to0) [/mm] die wichtige topologische Information, dass die Kurve eben verknotet war. Deshalb habe ich ein Problem damit, dass ein Kreis und eine echt verknotete geschlossene Kurve einfach zusammen in den Kübel der nullhomotopen geschlossenen Kurven geworfen werden sollen.
Ich bin seit langer Zeit weg vom Bereich der Topologie. Wahrscheinlich kannst du mich aber über diese Dinge aufklären und/oder mir geeignete Lektüretipps geben.
Lieben Gruß ! Al
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Mo 01.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Al,
> in diesem Zusammenhang möchte ich dir gerne noch eine
> Frage stellen. Unter den geschlossenen (und sich nicht
> selber kreuzenden) Kurven z.B. im [mm]\IR^3[/mm] gibt es doch
> solche, die zu einem Kreis im [mm]\IR^3[/mm] topologisch isomorph
> sind und andere, die im [mm]\IR^3[/mm] nur stetig in einen Kreis
> verwandelt werden könnten, wenn im Laufe der Verformung
> die Kurve sich selbst "durchkreuzen" darf. Ich spreche also
> den Unterschied zwischen einfachen "Kreisen" im [mm]\IR^3[/mm] und
> echt verknoteten geschlossenen stetigen Kurven im [mm]\IR^3[/mm]
> an.
>
> Ist nun eine "echt verknotete" Kurve im [mm]\IR^3[/mm] tatsächlich
> auch "nullhomotop" ? Natürlich kann man sie z.B. durch
> eine stetige Kontraktion zu einem Punkt schrumpfen lassen -
> aber dabei verliert bzw. opfert man nach meiner Ansicht im
> letzten Moment (beim Grenzübergang für [mm]r\to0)[/mm] die
> wichtige topologische Information, dass die Kurve eben
> verknotet war. Deshalb habe ich ein Problem damit, dass ein
> Kreis und eine echt verknotete geschlossene Kurve einfach
> zusammen in den Kübel der nullhomotopen geschlossenen
> Kurven geworfen werden sollen.
nun, nullhomotop heisst ja, dass man eine Kurve zu einem Punkt schrumpen lassen kann. Dabei geht natuerlich verloren, um was fuer eine Kurve es sich gehandelt hat. Aber das macht nichts  Bei nullhomotop geht es ja auch nur darum, ob man eine Kurve zu einem Punkt zusammenziehen kann oder eben nicht - also ob der Raum "stoerende Loecher" hat (die das verhindern) oder nicht. Es geht nicht darum, ob die Kurven jetzt besonders interessant sind oder nicht.
Ob solche Kurven interessant sind schaut man sich woanders an... Wenn man etwa eine Isotopie zwischen zwei Kurven anschaut, muss man noch fordern dass die "Zwischenkurven" auch alle gewisse Eigenschaften erfuellen, etwa dass sie sich nicht selber schneiden (was bei der konstanten Kurve der Fall ist). Wenn man eine solche Isotopie mit Zusatzeigenschaften haben moechte, dann sind ein komplizierter Knoten und ein Kreis nicht isotop. Wenn man allerdings die Zusatzeigenschaften nicht fordert, dann sind beide isotop zu einem Punkt und somit selber zueinander isotop.
> Ich bin seit langer Zeit weg vom Bereich der Topologie.
> Wahrscheinlich kannst du mich aber über diese Dinge
> aufklären und/oder mir geeignete Lektüretipps geben.
Nur bedingt, ich kenne mich nur mit einem kleinen Teil der Topologie aus. Ich weiss zwar dass es da noch viel mehr gibt, aber kenne keine Literatur. Vielleicht hilft der ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Artikel zur Knotentheorie etwas weiter, wobei ich vermute dass du ihn schon kennst...
Aber vielleicht hat ja sonst wer einen Vorschlag?
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für den Hinweis betr. Homotopie und Isotopie,
die offenbar unterschiedlich definiert werden.
Wenn man geschlossene Kurven verwendet, um zu
testen, ob ein topologischer Raum einfach zusammen-
hängend ist, gäbe es da aber wohl noch eine Frage:
Wie zeigt man, dass in einem Raum, in welchem alle
zu [mm] S^1 [/mm] isotopen Kurven nullhomotop sind, auch alle
anderen geschlossenen Kurven nullhomotop sind,
und umgekehrt ?
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:51 Di 02.08.2011 | | Autor: | cycore |
Hallo,
da du wohl keine Antwort bekommst und nachdem oben andere aufgefordert wurden sich in die Diskussion einzuschalten;
Zu der Frage
> Wie zeigt man, dass in einem Raum, in welchem alle
> zu [mm]S^1[/mm] isotopen Kurven nullhomotop sind, auch alle
> anderen geschlossenen Kurven nullhomotop sind,
> und umgekehrt ?
Wenn alle geschlossenen Kurven nullhomotop sind, dann natürlich auch die zu [mm]S^1[/mm] isotopen denn diese sind geschlossen. Ansonsten, wenn ich das mal umformulieren darf, fragst du ob/wieso es reicht um einfachen Zusammenhang zu zeigen, dass bereits die gesamte Isotopieklasse der [mm]S^1[/mm] nullhomotop ist. Das ist eine berechtigte Frage! Das scheint mir zwar zunächst anschaulich plausibel, aber ich höre das zum ersten mal und vielleicht ist es nicht all zu schwer, Wo hast du das gelesen?. Bemerke aber, dass natürlich i.A. nicht jede geschlossene Kurve homotop zu einer zur [mm]S^1[/mm] isotopen Kurve ist.
Ich habe aber noch etwas zur Aufgabe zu sagen, wohlwissend das es hier vielleicht untergeht. Ich würde die Aufgabe immer so bearbeiten:
[mm]\IR^n\setminus 0[/mm] ist homotopieäquivalent zu [mm]S^{n-1}[/mm] und die ist für [mm]n>=3[/mm] einfach zusammenhängend. Das ist in jedem Fall einfacher zu zeigen, selbst wenn man beides noch im Detail zeigen muss.
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Hallo cycore,
> > Wie zeigt man, dass in einem Raum, in welchem alle
> > zu [mm]S^1[/mm] isotopen Kurven nullhomotop sind, auch alle
> > anderen geschlossenen Kurven nullhomotop sind,
> > und umgekehrt ?
>
> Wenn alle geschlossenen Kurven nullhomotop sind, dann
> natürlich auch die zu [mm]S^1[/mm] isotopen denn diese sind
> geschlossen.
Klar. Aber ich meinte ja eben einerseits die zu [mm]S^1[/mm]
isotopen Kurven und andererseits alle anderen
geschlossenen Kurven - und nicht einfach alle ...
> Ansonsten, wenn ich das mal umformulieren
> darf, fragst du ob/wieso es reicht um einfachen
> Zusammenhang zu zeigen, dass bereits die gesamte
> Isotopieklasse der [mm]S^1[/mm] nullhomotop ist. Das ist eine
> berechtigte Frage! Das scheint mir zwar zunächst
> anschaulich plausibel, aber ich höre das zum ersten mal
> und vielleicht ist es nicht all zu schwer, Wo hast du das
> gelesen?.
Nirgends. War einfach so ein Gedanke.
> Bemerke aber, dass natürlich i.A. nicht jede
> geschlossene Kurve homotop zu einer zur [mm]S^1[/mm] isotopen Kurve
> ist.
Ja. Auf einer (in den [mm] \IR^3 [/mm] eingebetteten) Torusfläche gibt es
auch vermeintlich zu [mm] S^1 [/mm] isotope Kurven, die untereinander
(in der Topologie der Torusfläche) nicht homotop sind.
> Ich habe aber noch etwas zur Aufgabe zu sagen, wohlwissend
> das es hier vielleicht untergeht. Ich würde die Aufgabe
> immer so bearbeiten:
> [mm]\IR^n\setminus 0[/mm] ist homotopieäquivalent zu [mm]S^{n-1}[/mm] und
> die ist für [mm]n>=3[/mm] einfach zusammenhängend. Das ist in
> jedem Fall einfacher zu zeigen, selbst wenn man beides noch
> im Detail zeigen muss.
So was ähnliches habe ich mir im Zusammenhang der Aufgabe
auch schon überlegt: man kann die in [mm] \IR^n\smallsetminus\{0\} [/mm] liegende Kurve [mm] \alpha
[/mm]
zuerst einmal durch Zentralprojektion (Zentrum O) auf die
in [mm] \IR^n [/mm] liegende Einheitssphäre [mm]S^{n-1}[/mm] projizieren.
Diese Projektion ist eine Homotopie in [mm] \IR^n\smallsetminus\{0\}, [/mm] wie leicht
zu zeigen ist.
Dann "streckt" man die Kurve abschnittsweise (wobei man die
"Stützpunkte" so ziemlich beliebig wählen kann) zu einem
Zug von Großkreisbögen in der [mm]S^{n-1}[/mm] oder zu einem
Streckenzug in [mm] \IR^n [/mm] , etc.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Do 04.08.2011 | | Autor: | cycore |
> Hallo cycore,
>
> > > Wie zeigt man, dass in einem Raum, in welchem alle
> > > zu [mm]S^1[/mm] isotopen Kurven nullhomotop sind, auch alle
> > > anderen geschlossenen Kurven nullhomotop sind,
> > > und umgekehrt ?
> >
> > Wenn alle geschlossenen Kurven nullhomotop sind, dann
> > natürlich auch die zu [mm]S^1[/mm] isotopen denn diese sind
> > geschlossen.
>
> Klar. Aber ich meinte ja eben einerseits die zu [mm]S^1[/mm]
> isotopen Kurven und andererseits alle anderen
> geschlossenen Kurven - und nicht einfach alle ...
>
> > Ansonsten, wenn ich das mal umformulieren
> > darf, fragst du ob/wieso es reicht um einfachen
> > Zusammenhang zu zeigen, dass bereits die gesamte
> > Isotopieklasse der [mm]S^1[/mm] nullhomotop ist. Das ist eine
> > berechtigte Frage! Das scheint mir zwar zunächst
> > anschaulich plausibel, aber ich höre das zum ersten mal
> > und vielleicht ist es nicht all zu schwer, Wo hast du das
> > gelesen?.
>
> Nirgends. War einfach so ein Gedanke.
> [...]
Je länger ich darüber nachdenke desto weniger glaube ich daran..Das muss erst nochmal richtig formuliert werden! Was für Räume betrachten wir, welche Isotopie betrachten wir und was meinen wir mit der [mm]S^1[/mm] genau? Ich habe kein Gegenbeispiel konstruiert, aber ich bin mir ziemlich sicher das es je nach Forumlierung für beliebige topologische Räume falsch ist.
> > Ich habe aber noch etwas zur Aufgabe zu sagen, wohlwissend
> > das es hier vielleicht untergeht. Ich würde die Aufgabe
> > immer so bearbeiten:
> > [mm]\IR^n\setminus 0[/mm] ist homotopieäquivalent zu [mm]S^{n-1}[/mm]
> und
> > die ist für [mm]n>=3[/mm] einfach zusammenhängend. Das ist in
> > jedem Fall einfacher zu zeigen, selbst wenn man beides noch
> > im Detail zeigen muss.
>
> So was ähnliches habe ich mir im Zusammenhang der Aufgabe
> auch schon überlegt: man kann die in
> [mm]\IR^n\smallsetminus\{0\}[/mm] liegende Kurve [mm]\alpha[/mm]
> zuerst einmal durch Zentralprojektion (Zentrum O) auf die
> in [mm]\IR^n[/mm] liegende Einheitssphäre [mm]S^{n-1}[/mm] projizieren.
> Diese Projektion ist eine Homotopie in
> [mm]\IR^n\smallsetminus\{0\},[/mm] wie leicht
> zu zeigen ist.
>
> Dann "streckt" man die Kurve abschnittsweise (wobei man
> die
> "Stützpunkte" so ziemlich beliebig wählen kann) zu einem
> Zug von Großkreisbögen in der [mm]S^{n-1}[/mm] oder zu einem
> Streckenzug in [mm]\IR^n[/mm] , etc.
Gut, ich dachte eher an Seifert-van Kampen  mit Polygonzügen ist es auf der [mm]S^n[/mm] bestimmt genau so kompliziert wie im [mm]\IR^n\setminus{0}[/mm], oder?
>
> LG Al-Chw.
>
Gruß Cycore
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 Do 04.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > > Wie zeigt man, dass in einem Raum, in welchem alle
> > > > zu [mm]S^1[/mm] isotopen Kurven nullhomotop sind, auch
> alle
> > > > anderen geschlossenen Kurven nullhomotop sind,
> > > > und umgekehrt ?
> > >
> > > Wenn alle geschlossenen Kurven nullhomotop sind, dann
> > > natürlich auch die zu [mm]S^1[/mm] isotopen denn diese sind
> > > geschlossen.
> >
> > Klar. Aber ich meinte ja eben einerseits die zu [mm]S^1[/mm]
> > isotopen Kurven und andererseits alle anderen
> > geschlossenen Kurven - und nicht einfach alle ...
Eine Sache, die ich mich hier frage, ist: was meint ihr mit "zu [mm] $S^1$ [/mm] isotope Kurve"? Geht es um Kurven, die isotop zu einer konkret in den Raum eingebetteten [mm] $S^1$ [/mm] sind? (Und wenn ja, Einbettung in welchem Sinne? Wenn es um stetige Einbettungen geht, ist jede geschlossene Kurve im Raum eine Einbettung des [mm] $S^1$, [/mm] oder?)
Bei einer Isotopie ist es doch wichtig zu wissen, was der umgebende Raum ist. Und das ist mir hier ueberhaupt nicht klar.
LG Felix
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> Moin!
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> > > > > Wie zeigt man, dass in einem Raum, in welchem alle
> > > > > zu [mm]S^1[/mm] isotopen Kurven nullhomotop sind, auch
> > > > > alle anderen geschlossenen Kurven nullhomotop
> > > > > sind, und umgekehrt ?
> > > > Wenn alle geschlossenen Kurven nullhomotop sind, dann
> > > > natürlich auch die zu [mm]S^1[/mm] isotopen denn diese sind
> > > > geschlossen.
> > > Klar. Aber ich meinte ja eben einerseits die zu [mm]S^1[/mm]
> > > isotopen Kurven und andererseits alle anderen
> > > geschlossenen Kurven - und nicht einfach alle ...
> Eine Sache, die ich mich hier frage, ist: was meint ihr mit
> "zu [mm]S^1[/mm] isotope Kurve"? Geht es um Kurven, die isotop zu
> einer konkret in den Raum eingebetteten [mm]S^1[/mm] sind? (Und wenn
> ja, Einbettung in welchem Sinne? Wenn es um stetige
> Einbettungen geht, ist jede geschlossene Kurve im Raum eine
> Einbettung des [mm]S^1[/mm], oder?)
> Bei einer Isotopie ist es doch wichtig zu wissen, was der
> umgebende Raum ist. Und das ist mir hier ueberhaupt nicht
> klar.
>
> LG Felix
Hallo Felix,
lassen wir mal den Begriff "isotop" weg.
Mir ging es um Folgendes:
In einem Raum T mit gegebenen topologischen Eigenschaften seien
unter den geschlossenen Kurven solche, die verknotet sind und
solche die es nicht sind. In Räumen wie [mm] T=\IR^3 [/mm] und in Räumen,
welche wenigstens in Teilbereichen eine [mm] \IR^3 [/mm] - Topologie tragen,
ist dies jedenfalls so.
(Ich weiß leider nicht einmal, wie dies in höheren
Dimensionen aussieht ...)
Angenommen, es gelte noch der Satz:
"Alle nicht verknoteten geschlossenen Kurven in T sind in T nullhomotop."
Frage: Gilt dann auch "Alle verknoteten geschlossenen Kurven in T sind
in T nullhomotop." ?
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:29 Do 04.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Al,
> Mir ging es um Folgendes:
>
> In einem Raum T mit gegebenen topologischen Eigenschaften
> seien
> unter den geschlossenen Kurven solche, die verknotet sind
> und
> solche die es nicht sind. In Räumen wie [mm]T=\IR^3[/mm] und in
> Räumen,
> welche wenigstens in Teilbereichen eine [mm]\IR^3[/mm] - Topologie
> tragen,
> ist dies jedenfalls so.
> (Ich weiß leider nicht einmal, wie dies in höheren
> Dimensionen aussieht ...)
in hoeheren Dimensionen scheint es keine nicht-trivial verknoteten Kurven zu geben, siehe hier (da steht es nur fuer Dimension 4, es scheint mir mit dem gleichen Argument aber auch ganz allgemein zu gehen).
> Angenommen, es gelte noch der Satz:
> "Alle nicht verknoteten geschlossenen Kurven in T sind in
> T nullhomotop."
> Frage: Gilt dann auch "Alle verknoteten geschlossenen
> Kurven in T sind
> in T nullhomotop." ?
Anschaulich wuerde ich "ja" sagen. Um es "mathematisch korrekt" zu beantworten, muss man erstmal "verknotet" definieren -- und da wird's dann schwierig...
LG Felix
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> in hoeheren Dimensionen scheint es keine nicht-trivial
> verknoteten Kurven zu geben, siehe
> hier
> (da steht es nur fuer Dimension 4, es scheint mir mit dem
> gleichen Argument aber auch ganz allgemein zu gehen).
Hab ich mir eben schon gedacht. Ich erinnere mich auch daran, dass ich mir schon die Frage gestellt habe, ob die Dimensionalität der (physikalischen) Welt, in der wir leben, damit zu tun hat, dass einfach nur die Geometrie im [mm] \IR^3 [/mm] (bzw. [mm] \IR^3 \otimes \IR [/mm] für die Raumzeit) reichhaltig genug ist für interessante Gebilde wie etwa Kristalle, Moleküle und Lebewesen ... Wo keine Knoten sind, kann ja z.B. auch nichts "hängen bleiben". In einem vierdimensionalen Raum wäre auch z.B. schon eine Heugabel oder ein Rechen unnütz, um (im Wesentlichen lineare) Grashalme zu sammeln.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Do 04.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Mo 01.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich sehe gerade, daß die Aufgabe wohl Schritt für Schritt auf den Beweis hinarbeitet, daß [mm]\mathbb R^n\backslash\left\{0\right\}[/mm] einfach zusammenhängend ist.
Nur leider werde ich daraus nicht schlau!
Dort sind folgende Schritte (die sich vermutlich mit Deinen mehr oder weniger decken):
(i) Sei [mm]U\subseteq \mathbb R^n[/mm] offen, [mm]p,q\in U[/mm] und [mm]\alpha:[0,1]\to U[/mm] eine stetige Kurve von p nach q. Zeigen Sie, daß [mm]\alpha[/mm] zu einem Polygonzug von p nach q in U homotop ist.
(ii) Sei [mm]a\in\mathbb R^n\backslash\left\{0\right\}[/mm]. Zeigen Sie, daß [mm]\mathbb R^n\backslash \mathbb R_{\geq 0}a [/mm] einfach zusammenhängend ist.
(iii) Sei [mm]\gamma:[0,1]\to \mathbb R^n\backslash\left\{0\right\}[/mm] ein geschlossener Polygonzug, [mm]n\geq 3[/mm]. Zeigen Sie: Es gibt einen Halbstrahl [mm]\mathbb R_{\geq 0}a, a\in \mathbb R^n\backslash\left\{0\right\}[/mm] mit [mm]\gamma([0,1])\cap \mathbb R_{\geq 0}a=\emptyset [/mm].
(iv) Zeigen Sie, daß [mm]\mathbb R^n\backslash\left\{0\right\}[/mm] für [mm] n\geq [/mm] 3 einfach zusammenhängend ist.
Ich sehe das so, daß man (i) - (iii) durcharbeiten muss, um (iv) hinzubekommen. Nur leider, wie gesagt, verstehe ich nahezu nur Bahnhof.
Kleine Tipps wären daher super!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Mo 01.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Bei (i) muss man vielleicht abschnittsweise zeigen, daß man das Kurvenstück von [mm] \alpha [/mm] in das Stück des Polygonzugs deformieren kann. Am besten wäre wohl, wenn man eine Homotopie direkt angeben könnte, was mir aber irgendwie nicht gelingt.
Ich würde meinen, daß der Polygonzug p mit den Eckpunkten [mm]\alpha(t_j)[/mm] gegeben ist durch
[mm]p(\lambda t_j+(1-\lambda)t_{j-1}):=\lambda \alpha(t_j)+(1-\lambda)\alpha(t_{j-1})[/mm]
für [mm]0\leq \lambda\leq 1[/mm] und [mm]j=1,...,m[/mm], wobei das eine Unterteilung sein soll:
[mm]0=t_0
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:16 Mo 01.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Bei (i) muss man vielleicht abschnittsweise zeigen, daß
> man das Kurvenstück von [mm]\alpha[/mm] in das Stück des
> Polygonzugs deformieren kann. Am besten wäre wohl, wenn
> man eine Homotopie direkt angeben könnte, was mir aber
> irgendwie nicht gelingt.
Nunja:
> Ich würde meinen, daß der Polygonzug p mit den Eckpunkten
> [mm]\alpha(t_j)[/mm] gegeben ist durch
>
> [mm]p(\lambda t_j+(1-\lambda)t_{j-1}):=\lambda \alpha(t_j)+(1-\lambda)\alpha(t_{j-1})[/mm]
>
> für [mm]0\leq \lambda\leq 1[/mm] und [mm]j=1,...,m[/mm], wobei das eine
> Unterteilung sein soll:
>
> [mm]0=t_0
Das ist schon richtig so, jetzt musst du aber noch zeigen dass es passende [mm] $t_i$ [/mm] gibt.
Dazu ueberlege dir folgendes: es gibt [mm] $a_1, \dots, a_m \in [/mm] U$ und [mm] $r_1, \dots, r_m [/mm] > 0$ so, dass [mm] $\gamma([0, [/mm] 1]) [mm] \subseteq \bigcup_{i=1}^m B_{r_i}(a_i) \subseteq [/mm] U$ gilt.
Mit dieser Ueberdeckung kannst du die [mm] $t_i$ [/mm] konstruieren.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Mo 01.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich muss doch eine Homotopie angeben für jedes Kurvenstück von [mm] \alpha [/mm] und jedes "zugehörige" Stück vom Polygonzug. Oder?
Wieso muss ich dann erst passende [mm] t_i [/mm] konstruieren?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 Mo 01.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich verstehe nicht ganz, was Du meinst mit:
"passende [mm] t_i [/mm] konstruieren"
Ich dachte, ich müsste jetzt eine Homotopie angeben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 Mo 01.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich verstehe nicht ganz, was Du meinst mit:
>
> "passende [mm]t_i[/mm] konstruieren"
>
> Ich dachte, ich müsste jetzt eine Homotopie angeben.
Die Homotopie hast du ja schon angegeben: es fehlen "nur" noch die Stuetzstellen [mm] $t_j$.
[/mm]
Und die zu waehlen (so dass die Homotopie $U$ nicht verlaesst) ist noch etwas Aufwand, aber auch machbar.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Mo 01.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Die Homotopie habe ich schon angegeben?
Ich meinte, das wäre nur die Gleichung für den Polygonzug.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Mo 01.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Die Homotopie habe ich schon angegeben?
>
> Ich meinte, das wäre nur die Gleichung für den
> Polygonzug.
Oh, stimmt. Aber die Homotopie bekommst du auch sehr einfach hin: einfach linear zwischen Kurve und Polygonzug interpolieren.
Wenn du die Stuetzstellen richtig gewaehlt hast, so dass die Kurve zwischen zwei Stuetzpunkten in einem Ball (oder einer sonstigen konvexen Menge) enthalten ist, der komplett in $U$ liegt, dann ist das auch eine Homotopie in $U$.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Mo 01.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Meinst Du als Homotopie sowas wie:
[mm]H(u,t)=\alpha(t)+u\cdot (p(t)-\alpha(t))[/mm], jedenfalls wäre dann
[mm]H(0,t)=\alpha(t) [/mm] und
[mm]H(1,t)=p(t) [/mm],
wobei hier t wohl aus [mm] [t_{j-1},t_j] [/mm] stammt, nehme ich an.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Mo 01.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Meinst Du als Homotopie sowas wie:
>
> [mm]H(u,t)=\alpha(t)+u\cdot (p(t)-\alpha(t))[/mm], jedenfalls wäre
> dann
>
> [mm]H(0,t)=\alpha(t)[/mm] und
> [mm]H(1,t)=p(t) [/mm],
>
> wobei hier t wohl aus [mm][t_{j-1},t_j][/mm] stammt, nehme ich an.
Ja, sowas meine ich. Und wenn $p$ auf ganz $[0, 1]$ definiert ist, dann muss $t$ auch aus $[0, 1]$ stammen. Du willst ja eine globale Homotopie von der Kurve auf den Polygonzug.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Mo 01.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich muss doch eine Homotopie angeben für jedes
> Kurvenstück von [mm]\alpha[/mm] und jedes "zugehörige" Stück vom
> Polygonzug. Oder?
Ja. Und zwar so dass das "zusammenklebt" zu einer gesamten Homotopie.
> Wieso muss ich dann erst passende [mm]t_i[/mm] konstruieren?
Na, du brauchst doch die Stuetzstellen, um ueberhaupt den Polygonzug zu erhalten.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mo 01.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Zu der Sache mit den geeigneten Stützstellen bzw. der Unterteilung:
Wir hatten da einen Satz:
"Sei [mm]U\subseteq \mathbb R^n[/mm] offen und [mm]\gamma:[0,1]\to U [/mm] eine (stetige) Kurve mit [mm]\gamma(0)=p,\gamma(1)=q[/mm]. Dann gibt es auch eine stückweise stetige differenzierbare Kurve [mm]\alpha:[0,1]\to U[/mm] mit [mm]\alpha(0)=ß,\alpha(1)=q[/mm]."
Beweis:
Da [mm]\gamma([0,1]) [/mm] eine kompakte Teilmenge von U und [mm]\mathbb R^n\backslash U[/mm] abgeschlossen ist, gibt es ein [mm]\epsilon > 0[/mm], so dass [mm]\Vert \gamma(t)-y\Vert\geq\epsilon\forall t\in [0,1], y\in\mathbb R^n\backslash U[/mm]. Da [mm]\gamma[/mm] gleichmäßig stetig ist, gibt es eine Unterteilung [mm]0=t_0
Wir definieren jetzt [mm]\alpha[/mm] als den Polygonzug [..]
Lange Rede, kurzer Sinn:
Kann ich dann nicht voraussetzen, daß solche Punkte [mm] t_i [/mm] geeignet existieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Mo 01.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zu der Sache mit den geeigneten Stützstellen bzw. der
> Unterteilung:
>
> Wir hatten da einen Satz:
>
> "Sei [mm]U\subseteq \mathbb R^n[/mm] offen und [mm]\gamma:[0,1]\to U[/mm]
> eine (stetige) Kurve mit [mm]\gamma(0)=p,\gamma(1)=q[/mm]. Dann gibt
> es auch eine stückweise stetige differenzierbare Kurve
> [mm]\alpha:[0,1]\to U[/mm] mit [mm]\alpha(0)=ß,\alpha(1)=q[/mm]."
>
>
> Beweis:
> Da [mm]\gamma([0,1])[/mm] eine kompakte Teilmenge von U und [mm]\mathbb R^n\backslash U[/mm]
> abgeschlossen ist, gibt es ein [mm]\epsilon > 0[/mm], so dass [mm]\Vert \gamma(t)-y\Vert\geq\epsilon\forall t\in [0,1], y\in\mathbb R^n\backslash U[/mm].
> Da [mm]\gamma[/mm] gleichmäßig stetig ist, gibt es eine
> Unterteilung [mm]0=t_0
>
> Wir definieren jetzt [mm]\alpha[/mm] als den Polygonzug [..]
>
>
> Lange Rede, kurzer Sinn:
>
> Kann ich dann nicht voraussetzen, daß solche Punkte [mm]t_i[/mm]
> geeignet existieren?
Nein; weder der Satz noch der Beweis sagen (ohne weitere Argumente) etwas ueber die Existenz von Stuetzstellen in deinem Sinne aus.
Du kannst sie aber sehr aehnlich wie in diesem Satz/Beweis konstruieren.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Mo 01.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich lasse das mit der Existenz der Stützstellen jetzt erstmal fort, komme da jetzt nicht drauf.
Ehrlich gesagt, mag ich gar keine weiteren Fragen zu (ii) und (iii) mehr stellen, ich bombadiere Dich so.
Hm, ich frage trotzdem.
Du machst nicht den Eindruck, als wären das wirkliche Herausforderungen für Dich, aber vllt. machts Dir ja Spaß!
Zu (ii).
Anschaulich heißt das doch, daß man eine "Gerade" durch den Raum zieht und deswegen kann man auch alle geschlossenen Kurven auf einen Punkt zusammenziehen, weil der ausgeschlossene Nullpunkt ja nicht umrundet wird.
Du hast nun vorgeschlagen, daß man die in Frage stehende Kurve in die Richtung -a wegschiebt, bis sie in einem Ball ist, den man dann in den Mittelpunkt zusammenziehen kann.
Ist das schon die Lösung?
Weiß gerade nicht, wie ich das mathematisch ausdrücken soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Di 02.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Ich lasse das mit der Existenz der Stützstellen jetzt
> erstmal fort, komme da jetzt nicht drauf.
>
> Ehrlich gesagt, mag ich gar keine weiteren Fragen zu (ii)
> und (iii) mehr stellen, ich bombadiere Dich so.
>
> Hm, ich frage trotzdem.
> Du machst nicht den Eindruck, als wären das wirkliche
> Herausforderungen für Dich, aber vllt. machts Dir ja
> Spaß!
es macht schon Spass, ich finde das Thema ja auch interessant.
> Zu (ii).
> Anschaulich heißt das doch, daß man eine "Gerade" durch
> den Raum zieht und deswegen kann man auch alle
> geschlossenen Kurven auf einen Punkt zusammenziehen, weil
> der ausgeschlossene Nullpunkt ja nicht umrundet wird.
Ich versteh grad nicht was du meinst.
> Du hast nun vorgeschlagen, daß man die in Frage stehende
> Kurve in die Richtung -a wegschiebt, bis sie in einem Ball
> ist, den man dann in den Mittelpunkt zusammenziehen kann.
>
> Ist das schon die Lösung?
Im Wesentlichen schon, aber das wichtigste fehlt noch:
> Weiß gerade nicht, wie ich das mathematisch ausdrücken
> soll.
Das ist hier gerade der Knackpunkt. Und ebenso bei vielen anderen topologischen Problemen. Eine Loesung ist meist schnell vorstellbar, aber das dann aufzuschreiben (und damit zu verifizieren dass es auch wirklich geht) ist nicht so einfach.
Fuer die Verschiebung kannst du eine Homotopie hinschreiben, und nachrechnen dass es eine Homotopie in [mm] $\IR^n \setminus \{ 0 \}$ [/mm] ist.
Und fuer das Zusammenziehen kannst du dann wieder eine Homotopie hinschreiben und ebenfalls nachrechnen dass diese korrekt ist.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Mo 01.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich sehe gerade, daß die Aufgabe wohl Schritt für Schritt
> auf den Beweis hinarbeitet, daß [mm]\mathbb R^n\backslash\left\{0\right\}[/mm]
> einfach zusammenhängend ist.
>
> Nur leider werde ich daraus nicht schlau!
>
> Dort sind folgende Schritte (die sich vermutlich mit Deinen
> mehr oder weniger decken):
>
> (i) Sei [mm]U\subseteq \mathbb R^n[/mm] offen, [mm]p,q\in U[/mm] und
> [mm]\alpha:[0,1]\to U[/mm] eine stetige Kurve von p nach q. Zeigen
> Sie, daß [mm]\alpha[/mm] zu einem Polygonzug von p nach q in U
> homotop ist.
Dazu hatte ich gerade was geschrieben.
> (ii) Sei [mm]a\in\mathbb R^n\backslash\left\{0\right\}[/mm]. Zeigen
> Sie, daß [mm]\mathbb R^n\backslash \mathbb R_{\geq 0}a[/mm] einfach
> zusammenhängend ist.
Tipp: Schiebe eine Kurve so weit weg (entlang $-a$), dass sie in einem Ball enthalten ist, der komplett in [mm] $\IR^n \setminus \IR_{\ge 0} [/mm] a$ liegt.
Im Ball selber ist es wieder einfach: einfach alles zum Mittelpunkt zusammenziehen.
> (iii) Sei [mm]\gamma:[0,1]\to \mathbb R^n\backslash\left\{0\right\}[/mm]
> ein geschlossener Polygonzug, [mm]n\geq 3[/mm]. Zeigen Sie: Es gibt
> einen Halbstrahl [mm]\mathbb R_{\geq 0}a, a\in \mathbb R^n\backslash\left\{0\right\}[/mm]
> mit [mm]\gamma([0,1])\cap \mathbb R_{\geq 0}a=\emptyset [/mm].
Anschaulich ist das klar, oder?
Du hast $m$ Geraden im [mm] $\IR^n$ [/mm] und willst zeigen, dass es eine weitere Gerade gibt, die keine dieser Geraden schneidet (das ist staerker als die Aussage, die du eigentlich beweisen musst: hier werden aus den einzelnden Linienzuegen des Polygonzuges unendlich lange Geraden gemacht). Dazu wird dir evtl. folgendes Resultat (oder der Beweis dafuer) weiterhelfen: der [mm] $\IR^k$ [/mm] kann nicht als endliche Vereinigung von hoechstens $k - 1$-dimensionalen Unterraeumen geschrieben werden.
> (iv) Zeigen Sie, daß [mm]\mathbb R^n\backslash\left\{0\right\}[/mm]
> für [mm]n\geq[/mm] 3 einfach zusammenhängend ist.
Das musst du jetzt selber aus den vorherigen Teilen kombinieren.
LG Felix
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> Nimm dir irgendeine Schlaufe im [mm]\IR^n \setminus \{ 0 \}[/mm].
> Ueberlege dir folgende Schritte:
>
> 1) Es gibt ein [mm]v \in \IR^n \setminus \{ 0 \}[/mm] so dass
> [mm]\IR_{>0} v[/mm] die Schlaufe nicht schneidet.
Hallo Felix,
dein Rezept scheint mir einleuchtend bei allen geschlossenen
stetigen Kurven, die ich mir klar vorstellen kann.
Nun gibt es aber noch gewisse geschlossene stetige Kurven,
die ich mir zwar nicht so ganz im Detail vorstellen kann, die
aber offenbar existieren, wie man auch beweisen kann:
flächenfüllende Hilbertkurven. So wie man ein Quadrat mit
einer solchen Hilbertkurve (die man sich als Limeskurve
von allen Annäherungen, die man zeichnen kann, vorstellen
muss) komplett ausfüllen kann, kann man auch eine Kugelober-
fläche (ich denke da jetzt an die in den [mm] \IR^3 [/mm] eingebettete
Sphäre [mm] S^2) [/mm] mit einer analogen, geschlossenen Hilbertkurve
überdecken. Folgendes Bild gibt eine Idee davon:
Hilbert-Kurven auf Würfel und Kugel
Wenn nun [mm] O(0/0/0)\in\IR^3 [/mm] das Zentrum einer so bedeckten
Kugel ist, dann gibt es offenbar keinen von O ausgehenden
Strahl, welcher die Kurve nicht trifft ...
Um einem von O ausgehenden Strahl Gelegenheit zu
bieten, aus der Kugel zu entweichen, müsste man offenbar
zunächst die flächenfüllende Hilbertkurve in der Umgebung
eines Punktes der Kugeloberfläche derart verformen, dass
eine Lücke entsteht. Dies dürfte aber nicht so ganz leicht
detailliert zu beschreiben sein ...
LG Al-Chwarizmi
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> Hilbert-Kurven auf Würfel und Kugel
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> Wenn nun [mm]O(0/0/0)\in\IR^3[/mm] das Zentrum einer so bedeckten
> Kugel ist, dann gibt es offenbar keinen von O ausgehenden
> Strahl, welcher die Kurve nicht trifft ...
> Um einem von O ausgehenden Strahl Gelegenheit zu
> bieten, aus der Kugel zu entweichen, müsste man offenbar
> zunächst die flächenfüllende Hilbertkurve in der
> Umgebung
> eines Punktes der Kugeloberfläche derart verformen, dass
> eine Lücke entsteht. Dies dürfte aber nicht so ganz
> leicht
> detailliert zu beschreiben sein ...
>
> LG Al-Chwarizmi
Nachtrag:
nach einigem Überlegen scheint es doch nicht schwierig
zu sein. Man wähle einfach einige Punkte der flächenfüllenden
Kurve, z.B. [mm] P_0=\alpha(0)=\alpha(1), P_1=\alpha(1/4), P_2=\alpha(1/2), P_3=\alpha(3/4).
[/mm]
Nun kann man etwa das Kurvenstück [mm] \alpha([0..1/4]) [/mm] homotop
auf die Strecke [mm] \overline{P_0P_1} [/mm] (oder z.B. auf einen Grosskreisbogen
auf der Sphäre) abbilden. Der unvorstellbar gekräuselte
Faden der Hilbertkurve wird sozusagen gespannt. Bei der
Definition einer solchen Homotopie muss man nur darauf
achten, dass dabei kein Punkt der Kurve ausgerechnet über
den zu meidenden Punkt O gezogen wird.
LG Al
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Di 02.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Al,
> > Nimm dir irgendeine Schlaufe im [mm]\IR^n \setminus \{ 0 \}[/mm].
> > Ueberlege dir folgende Schritte:
> >
> > 1) Es gibt ein [mm]v \in \IR^n \setminus \{ 0 \}[/mm] so dass
> > [mm]\IR_{>0} v[/mm] die Schlaufe nicht schneidet.
>
>
> dein Rezept scheint mir einleuchtend bei allen
> geschlossenen
> stetigen Kurven, die ich mir klar vorstellen kann.
> Nun gibt es aber noch gewisse geschlossene stetige
> Kurven,
> die ich mir zwar nicht so ganz im Detail vorstellen kann,
> die
> aber offenbar existieren, wie man auch beweisen kann:
> flächenfüllende Hilbertkurven. So wie man ein Quadrat
> mit
> einer solchen Hilbertkurve (die man sich als Limeskurve
> von allen
> Annäherungen, die man zeichnen kann,
> vorstellen
> muss) komplett ausfüllen kann, kann man auch eine
> Kugelober-
> fläche (ich denke da jetzt an die in den [mm]\IR^3[/mm]
> eingebettete
> Sphäre [mm]S^2)[/mm] mit einer analogen, geschlossenen
> Hilbertkurve
> überdecken. Folgendes Bild gibt eine Idee davon:
>
> Hilbert-Kurven auf Würfel und Kugel
>
> Wenn nun [mm]O(0/0/0)\in\IR^3[/mm] das Zentrum einer so bedeckten
> Kugel ist, dann gibt es offenbar keinen von O ausgehenden
> Strahl, welcher die Kurve nicht trifft ...
ja, da hast du Recht. Da muss man noch etwas mehr Arbeit investieren. Die Schritte, die mikexx in der Aufgabenstellung bekommen haben, umgehen das Problem jedoch: zuerst zeigt man, dass jede geschlossene Kurve in einer offenen Menge zu einem geschlossenen Polygonzug homotop ist. Damit kann man das Problem darauf reduzieren, dass man einen Polygonzug in [mm] $\IR^n \setminus \{ 0 \}$ [/mm] hat und fuer diesen einen Strahl [mm] $\IR_{\ge 0} [/mm] v$ finden muss, der den Polygonzug nicht schneidet. Und das ist dann wesentlich einfacher (und vor allem: es ist ueberhaupt moeglich!).
> Um einem von O ausgehenden Strahl Gelegenheit zu
> bieten, aus der Kugel zu entweichen, müsste man offenbar
> zunächst die flächenfüllende Hilbertkurve in der
> Umgebung
> eines Punktes der Kugeloberfläche derart verformen, dass
> eine Lücke entsteht. Dies dürfte aber nicht so ganz
Zumindest wenn sich die Kurve auf einer Kugeloberflaeche bewegt. Wenn sie auch noch wild durch den Raum geht wird es noch viel komplizierter. Aber mit der Homotopie zu einem Polygonzug wird das dann alles wieder viel einfacher.
LG Felix
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Hier mein eigener Entwurf für die Bedeckung der Kugel durch
eine flächenfüllende Kurve in zwei Stadien der Verfeinerung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß Al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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![[]](http://faculty.msvu.ca/evaknoll/teknollogy/images/hilbertcurve.gif){kind=small}
Annäherungen, die man zeichnen kann![[]](http://www.jotero.com/bilder/maxwell/maxwell_v_1_5_1/cube_and_sphere_hilbert_jotero.jpg){kind=small}
Hilbert-Kurven auf Würfel und Kugel